上海交通大学-432统计学-2024年

一、选择题(1-15题每题2分, 16-25题每题3分, 共60分)

从某车厂抽了20辆同一类型的车进行测是, 根据这20车的数据得出结论, 表明这类型车百公里油耗小于 $7.1$ L, 这句话是( $\quad$ )
A. 对样本的描述
B. 对样本的推断
C. 对总体的描述
D. 对总体的推断

Solution: D.

这是通过样本数据对总体的推断.

某大学的马克思学院的老师对大学生玩手机的时间比较感兴趣, 因此从马克思学院的大一、大二、大三、大四, 各抽了20个人( $\quad$ )
A. 多阶段抽样
B. 配额抽样
C. 简单随机抽样
D. 整群抽样

Solution: B.

为研究不同人的甘油三酯和血糖的关系, 应该用什么图表( $\quad$ )
A. 条形图
B. 对比条形图
C. 散点图
D. 饼图

Solution: C.

淘宝调查某产品评价, 有人恶意差评, 请问这是什么误差( $\quad$ )
A. 随机误差
B. 回答误差
C. 无回答误差
D. 抽样框误差

Solution: B.

一组数据的均值是 0.078, 标准差是 0.03, 下列哪一个是异常值( $\quad$ )
A. 0.089
B. 0.074
C. 0.072
D. 0.082

Solution: A.

现有某大学的学生分数, 分数均值是 78 , 中位数是 83 , 标准差是8, 则样本的分布是( $\quad$ )
A. 左偏
B. 右偏
C. 对称
D. 不确定

Solution: A.

假设 $X$ 的分布列为 $\mathbb{P}(X=1)=0.2 , \mathbb{P}(X=0)=0.7$ , $\mathbb{P}(X=2)=0.1$ , 问 $X$ 的均值和方差, 以下错误的是( $\quad$ )
A. 众数和中位数均为 0
B. 期望为 0.4
C. 方差为 0.44
D. 标准差为 0.2

Solution: D.

总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ , 随机变量 $F=\frac{k (\bar{X}-\mu)^2}{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2}$ 是 $F$ 分布, 求 $k$ 的参数 $(\quad)$
A. $n (n-1)$
B. $\frac{n-1}{n}$
C. 1
D. $\frac{n}{n-1}$

Solution: 选 A.

我们知道 $U_1=n\left(\bar{X}-\mu\right)^2 \sim \sigma^2 \chi^2(1)$ , $U_2=\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\sim \sigma^2 \chi^2(n-1)$ , 因此 $\frac{U_1}{U_2/(n-1)}\sim F(1, n-1)$ , 对应系数得到 $k=n(n-1)$ .

设 $X \sim N(0, 1)$ , 求 $Y=X^4$ 的概率密度函数( $\quad$ )
A. $\frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}} y^{-3 / 4} \exp \left(-\frac{y^{1 / 2}}{2}\right)$ , $y>0$ .
B. $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} y^{-3 / 4} \exp \left(-\frac{y^{1 / 2}}{2}\right)$ , $y>0$ .
C. $\frac{1}{4\sqrt{\pi}} y^{-3 / 4} \exp \left(-\frac{y^{1 / 2}}{2}\right)$ , $y>0$ .
D. $\frac{1}{2\sqrt{\pi}} y^{-3 / 2} \exp \left(-\frac{y^{1 / 2}}{2}\right)$ , $y>0$ .

Solution: A.

微分法.

\begin{aligned} P\left( Y=y \right) &=P\left( X=y^{\frac{1}{4}} \right) +P\left( X=-y^{\frac{1}{4}} \right) =2P\left( X=y^{\frac{1}{4}} \right) \\ &=2p\left( y^{\frac{1}{4}} \right) \mathrm{d}y^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}y^{-\frac{3}{4}}p\left( y^{\frac{1}{4}} \right) \mathrm{d}y=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}y^{-3/4}\exp \left( -\frac{y^{1/2}}{2} \right) . \end{aligned}

下列四个说法中, 哪个说法是错误的( $\quad$ )
A. 离散系数越小, 数据越分散
B. 异众比率越小, 数据越集中
C. 极差会受极端值影响
D. 四分位差不是用于分类数据

Solution: A.

研究在雨天的路上和晴天的路上的刹车距离, 20辆车在两个路上进行测试, 测得雨天的刹车标准差是 45 , 晴天的是 25 , 假设刹车距离均为正态分布, 且雨天刹车距离的方差为 $\sigma_1^2$ , 晴天刹车距离的方差为 $\sigma_2^2$ , 检验问题:

H_0: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \leq 1 \leftrightarrow H_1: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}>1

则 $(\quad)$ (分位数: $F_{0.05}(19, 19)=2.17$ )
A. 拒绝原假设
B. 不拒绝原假设
C. 拒绝不拒绝都可以
D. 无法确定

Solution: B.

$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}=\frac{45}{25}=1.8<F_{0.05}(19, 19)$ , 因此不拒绝原假设, 选 B.

假设随机变量 $X \sim N(0, 36) , Y \sim N(1, 25) , \rho(X, Y)=0.8$ , 求 $\operatorname{Var}(2 X-Y)$ =( $\quad$ ).
A. 73
B. 144
C. 25
D. 169

Solution: A.

直接计算, 有

\begin{aligned} \operatorname{Var}(2 X-Y) & =4 \cdot \operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)-4 \operatorname{Cov}(X, Y) \\ & =144+25-4 \cdot 0.8 \cdot 5 \cdot 6 \\ & =73 \end{aligned}

假设总体正态, 样本量是 16 , 样本均值是 7.3 , 样本方差是 0.64 , 想要研究均值是否显著小于7.5, 下列正确的是( $\quad$ )
A. 原假设是大于等于7.5, 检验统计量的形式是 $4 \frac{\bar{x}-7.5}{s}$
B. 原假设是小于等于 7.5 , 检验统计量的形式是 $4 \frac{\bar{x}-7.5}{s}$
C. 原假设是小于等于 7.5 , 检验统计量的形式是 $\frac{\bar{x}-7.5}{0.8}$
D. 原假设是大于等于 7.5 , 检验统计量的形式是 $\frac{\bar{x}-7.5}{0.2}$

Solution: A.

D虽然数据对上了, 但检验统计量的形式不是统一形式.

假设总体 $X$ , 样本均值和样本方差分别为 $\bar{X}$ 和 $S^2$ , 下列正确的是( $\quad$ )
A. $S$ 是 $\sigma$ 的无偏估计
B. $S$ 是 $\sigma$ 的极大似然估计
C. $S$ 是 $\sigma$ 的一致估计
D. $S$ 与 $\sigma$ 独立

Solution: C.

我们知道 $S^2$ 无偏, 故根据 Jensen不等式, $S$ 不是无偏的, A 错;
题目没有给分布, B 错;
D 只有在正态情形正确, 故 D 错.
对于 C, 首先 $S^2 \xrightarrow{P} \sigma^2$ , 利用依概率收敛对连续函数保持不变, 有 $S \xrightarrow{P} \sigma$ .

假设 $X \sim N(0, 1)$ , 常数 $x<0$ , 求 $\mathbb{P}(x<X \mid X \leq 0)=(\quad)$
A. $2\Phi \left( -x \right) -1$
B. $\Phi \left( -x \right) -1$
C. $\Phi \left( -x \right) -1/2$
D. $2\Phi \left( -x \right) -1/2$

Solution: A.

直接计算

P\left( X>x|X<0 \right) =\frac{P\left( x<X<0 \right)}{P\left( X<0 \right)}=2\left( \Phi \left( 0 \right) -\Phi \left( x \right) \right) =1-2\Phi \left( x \right) =2\Phi \left( -x \right) -1.

泊松分布 $\mathcal{P}$ 的C-R下界是多少? ( $\quad$ )
A. $\frac{n}{\lambda}$
B. $\frac{1}{n \lambda}$
C. $\frac{\lambda}{n}$
D. $\frac{1}{n \lambda^2}$

Solution: C. $\mathrm{I}(\lambda)=E\left[-\frac{\partial^2 f}{\partial \lambda^2}\right]=\frac{1}{\lambda}$ , 故 CR 下界为 $\frac{\lambda}{n}$ .

总体 $X \sim N\left(\mu, \frac{1}{4}\right)$ , 要求满足 $\mathbb{P}(|\bar{X}-\mu|<0.1) \geq 0.95$ 的最小样本量( $\quad$ ) (分位数: $z_{0.95}=1.64, z_{0.975}=1.96$ )
A. 68
B. 67
C. 97
D. 96

Solution: C.

令 $P(|\bar{X}-\mu|<0.1)=P(|N(0, 1)|<0.2 \sqrt{n}) \geq 0.95$ , 因此 $0.2 \sqrt{n} \geq 1.96$ , 解得 $n \geq 96.04$ , 选 C.

(暂无题目, 有回忆者可以联系大师兄)
(暂无题目, 有回忆者可以联系大师兄)
进行满意度调查, 结果如下:

性别/满意度	满意	一般	行和
男生	180	120	$\mathbf{3 0 0}$
女生	130	70	$\mathbf{2 0 0}$
列和	310	190	$\mathbf{5 0 0}$

求男生女生满意的行百分比( $\quad$ )
A. $60 \%$ , $65 \%$
B. $33.3 \%$ , $30 \%$
C. $58 \%$ , $42 \%$
D. $62.07 \%$ , $37.93 \%$

Solution: A.

关于列联表, 下列说法正确的是( $\quad$ )
A. $\varphi$ 相关系数适用于所有的列联表
B. $\varphi$ 相关系数是 $V$ 相关系数的特殊情况
C. $c$ 相关系数取值在 $[0, 1]$ 的所有值
D. $\varphi$ 相关系数取值在 $[0, 1]$ 的所有值

Solution: B.

调整后的多重判定系数为 $0.7$ , $n=10$ , $k=3$ , 则 $R^2$ =( $\quad$ ).
A. 0.85
B. 0.75
C. 0.25
D. 0.8

Solution: D.

$R_a^2 = 1- \frac{n-1}{n-k-1} R^2$ , 解出 $R^2=0.8$ .

样本量 $n=36$ , 回归方程 $y=\beta_0+\beta_{1} x_1+\beta_2 x_{2}+\beta_3 x_{ 3}+\beta_4 x_4$ , 得到估计的回归方程:
$\hat{y}=6.8+\hat{\beta}_1 x_1+1.2 x_2+\hat{\beta}_3 x_3$ , 且 $\hat{\beta}_2$ 的标准误是 $0.3$ , $t_{0.025}(32)=2.036933$ , 则 $(\quad)$
A. 线性关系显著
B. 无多重共线性
C. $X_2$ 对 $Y$ 显著
D. $X_1$ 对 $Y$ 显著

Solution: A, C.

这里 $t_2=\frac{1.2}{0.3}=4>t_{0.025}(32)$ , 拒绝原假设, 因此 $X_2$ 对 $Y$ 是显著的. 如果模型中至少有一个变量显著, 则模型自身也是显著的. 而对于 B 和 D, 没有其他信息的情况下无法判断.

某品牌手机销售量是先增长缓慢, 再突然暴增, 再增长缓慢至饱和, 请问用什么曲线进行拟合?( $\quad$ )
A. 指数曲线
B. 修正过后的指数曲线
C. 三次曲线
D. 逻辑斯蒂曲线

Solution: D.

这种曲线符合种群人口增长的模型, 同时可以发现 A、B、C都是无界的, 只有 D 有界满足题设的饱和.

季节指数, $1.1 , 0.8 , 0.9 , 1.2$ , 预测方程 $Y_t=6000+200 t$ , 2023年第三季度的值是 9000, 求2024年第一季度的预测值是( $\quad$ )
A. 11440
B. 7000
C. 10340
D. 9400

Solution: A.

$\frac{9000}{0.9} + 200 \cdot 2 = 10400$ , 再乘上季节指数 1.1 得 A.

二、简答题(每题10分, 共40分)

序列 $Y_1, \ldots, Y_n$ 预测: 什么是指数平滑? 什么是二次指数平滑? 结合指数平滑和二次指数平滑, 以序列举例进行预测.

Solution: 指数平滑和二次指数平滑是时间序列分析中用于预测的两种技术. 它们通过给历史数据不同的权重来预测未来的值.

一次指数平滑(Simple Exponential Smoothing):
指数平滑是一种预测技术，适用于没有明显趋势和季节性的时间序列. 它通过对最近的数据给予更大的权重，并对更早的数据给予递减的权重来计算平滑值. 指数平滑的公式

S_t = \alpha Y_t + (1 - \alpha) S_{t-1}

其中， $S_t$ 是时刻 $t$ 的平滑值， $Y_t$ 是时刻 $t$ 的实际观测值， $\alpha$ 是平滑参数（ $0 < \alpha \leq 1$ ）.

二次指数平滑(Double Exponential Smoothing):
二次指数平滑适用于有趋势但没有季节性的时间序列. 它的公式包括两个方程：

\begin{aligned} S_t &= \alpha Y_t + (1 - \alpha)(S_{t-1} + T_{t-1}) \\ T_t &= \beta (S_t - S_{t-1}) + (1 - \beta) T_{t-1} \end{aligned}

其中， $S_t$ 是时刻 $t$ 的平滑值， $T_t$ 是时刻 $t$ 的趋势项， $Y_t$ 是时刻 $t$ 的实际观测值， $\alpha$ 和 $\beta$ 是平滑参数.

为了研究户型、房价指数、房东收入对二手房价的影响, 其中如果户型是三室两厅记作 $1$ , 两室两厅记作 $0$ , 请你建立线性回归方程并检验模型是否显著.

Solution: 为了研究二手房价（ $Y$ ）与户型 $X_1$ 、房价指数（ $X_2$ ）和房东收入（ $X_3$ ）的关系，我们建立以下多元线性回归模型：

Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \varepsilon

其中， $X_1$ 是一个虚拟变量，表示户型, 模型中， $\beta_0$ 是截距， $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 分别是与 $X_1, X_2, X_3$ 相关的系数，而 $\varepsilon$ 代表误差项. 为了检验模型的显著性，我们通常进行以下两种检验：(i) F检验（整体显著性检验）：检验模型中所有自变量对因变量的联合影响是否显著. (ii) t检验（单个系数的显著性检验）：检验模型中每个自变量对因变量的独立影响是否显著.

设有总体指数分布 $X\sim f(x;\theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}$ 的三个样本 $X_1,X_2,X_3$ , 找出 $\alpha$ 使 $\alpha X_{(1)} + \left(1-\alpha\right) X_{(3)}$ 是 $\theta$ 的无偏估计.

Solution: 对于指数分布, 我们有结论: $E(X_{(1)})=\frac{1}{n}E(X)$ , $E(X_{(n)})=\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)E(X)$ , 因此这里 $E(X_{(1)}) = \frac{1}{3} \theta$ , $E(X_{(3)})=\frac{11}{6}\theta$ , 故有 $\alpha = \frac{5}{9}$ .

似然比检验，假设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ , 给出检验问题:

H_0: \mu=\mu_0 \quad \mathrm{vs} \quad H_1: \mu \neq \mu_0

的似然比检验.

Solution: 茆书例题 7.4.1 原题.

三、计算题(前2题每题15分, 第3题20分, 共50分)

设 $\left( \begin{array}{c} X\\ Y\\ \end{array} \right) \sim N\left( \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array} \right) ,\left( \begin{matrix} 1& \rho\\ \rho& 4\\ \end{matrix} \right) \right)$ , $\rho \in (-2,2)$ , 求 $P(X \ge 0, Y \ge 0)$ .

Solution: 这是复旦432-2022-第五题原题. 利用 $(X,Y)$ 与 $(-X,-Y)$ 同分布, 有

P\left( X\ge 0,Y\ge 0 \right) =P\left( -X\ge 0,-Y\ge 0 \right) ,

这两个事件并起来恰好意味着 $X$ , $Y$ 同号. 因此 $P\left( X\ge 0,Y\ge 0 \right) =\frac{1}{2}P\left( XY\ge 0 \right) =\frac{1}{2}P\left( \frac{Y}{X}\ge 0 \right)$ , 作独立变换, 找合适的 $W$ 使得 $Y= \rho X +\sqrt{4-\rho^2} W$ , 同时恰好 $(X,W)\sim N(0,0;1,1;0)$ , 因此有

P\left( \frac{Y}{X}\ge 0 \right) =P\left( \rho +\sqrt{4-\rho ^2}\frac{W}{X}\ge 0 \right) =P\left( \frac{W}{X}\ge -\frac{\rho}{\sqrt{4-\rho ^2}} \right) =F\left( \frac{\rho}{\sqrt{4-\rho ^2}} \right) ,

这里 $F$ 是标准柯西分布分布函数, 且用到了 $P\left( \frac{W}{X}\ge -x\right)=P\left( \frac{W}{X}\le x\right)$ , 因此不难求出

P\left( X\ge 0,Y\ge 0 \right) =\frac{1}{4}+\frac{1}{2\pi}\mathrm{arc}\tan \frac{\rho}{\sqrt{4-\rho ^2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2\pi}\mathrm{arc}\sin \rho.

设有来自 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本 $X_1, \cdots, X_n$ , 记 $\hat{\sigma}=\sum_{i=1}^n w_i\left|X_i\right|$ , 求最优权重 $w_i$ 使得 $\hat{\sigma}$ 是无偏估计且的方差最小.

Solution: 首先 $E(|X|)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}\sigma$ , $E(|X|^2)=\sigma^2$ . 因此需要满足 $\sum_{i=1}^n w_i = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}$ , 这也意味着: 令 $Z_i = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} |X_i|$ , 其中 $E(Z)=\sigma$ , 找最优权重 $l_i$ , 满足 $\sum_{i=1}^n l_i =1$ , 使其方差最小.

实际上不难看出, 对于 i.i.d. 样本, $l_1=l_2=\cdots=l_n=1/n$ 时, 方差最小, 证明是简单的: 用柯西-施瓦茨不等式,

Var\left( \sum_{i=1}^n{l_iZ_i} \right) =\sigma _{z}^{2}\sum_{i=1}^n{l_{i}^{2}}=\sigma _{z}^{2}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{l_{i}^{2}}\sum_{i=1}^n{1^2}\ge \sigma _{z}^{2}\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n{l_i\cdot 1} \right) ^2=\frac{\sigma _{z}^{2}}{n},

当且仅当 $l_1=l_2=\cdots=l_n=1/n$ 时取等, 此时 $w_i=\frac{\sqrt{2}}{n\sqrt{\pi}}$ .

当然, 也可以用拉格朗日乘数法.

有来自总体 $U(0,\theta)$ 的简单随机样本 $X_1,\cdots,X_n$ . 其次序统计量是 $X_{(1)}\le \cdots \le X_{(n)}$ .
(1) 求 $X_{(k)}$ 的概率密度, 期望、方差.
(2) 证明 $n\left(1-\frac{X_{(n)}}{\theta}\right)$ 按分布收敛于 Exp $(1)$ .
(3) 求 $\theta$ 的 $95 \%$ 的渐近置信区间. (用渐近分布)
(4) 给出 $H_0: \theta \le 1 \quad \mathrm{vs} \quad H_1: \theta >1$ 的渐近拒绝域.

Solution: (1) 利用均匀分布次序统计量结论, 有 $\frac{X_{(k)}}{\theta} \sim Be(k,n+1-k)$ , 因此有

p_k\left( x \right) =\frac{n!}{\left( k-1 \right) !\left( n-k \right) !}\frac{1}{\theta ^n}x^{k-1}\left( \theta -x \right) ^{n-k},\quad 0<x<\theta.

期望是 $E(X_{(k)})=\frac{k}{n+1} \theta$ , $Var\left(X_{(k)}\right)=\frac{k(n-k+1) \theta^2}{(n+2)(n+1)^2}$ .

(2) 直接求分布函数即可, 有

P\left( n\left( 1-\frac{X_{\left( n \right)}}{\theta} \right) >x \right) =P\left( 1-\frac{X_{\left( n \right)}}{\theta}>\frac{x}{n} \right) =P\left( \frac{X_{\left( n \right)}}{\theta}<1-\frac{x}{n} \right) =\left( 1-\frac{x}{n} \right) ^n\rightarrow e^{-x},

因此 $P\left( n\left( 1-\frac{X_{\left( n \right)}}{\theta} \right) \le x \right) \rightarrow 1-e^{-x}$ , 这确实是 Exp $(1)$ .

(3) 单侧双侧都可以, 最好是单侧, 因为 $\theta$ 应该在形如 $[X_{(n)},c]$ 的区间中更合理. 我们有

P\left( 0<n\left( 1-\frac{X_{\left( n \right)}}{\theta} \right) <-\ln \left( 0.05 \right) \right) \approx 0.95,

通过反解得到置信区间

\left[ X_{\left( n \right)},\frac{X_{\left( n \right)}}{1+\frac{1}{n}\ln \left( 0.05 \right)} \right].

(4) 拒绝域形式应是 $W=\{X_{(n)}>c\}$ , 注意原假设时 $\theta =1$ , 我们表示为

W=\left\{ X_{\left( n \right)}>c \right\} =\left\{ n\left( 1-X_{\left( n \right)} \right) <n\left( 1-c \right) \right\},

因此为使得水平为 $\alpha$ , 应有 $n(1-c)\approx -\ln (1-\alpha)$ , 即 $c \approx 1+\frac{\ln \left( 1-\alpha \right)}{n}$ , 故拒绝域可以是

W=\left\{ X_{\left( n \right)}\ge 1+\frac{\ln \left( 1-\alpha \right)}{n} \right\}

或者直接是 $W=\left\{ n\left( 1-X_{\left( n \right)} \right) \le -\ln \left( 1-\alpha \right) \right\}$ .