北京大学光华-431金融学统计-2024年

一、(20分) 某研究员想要了解某种特定培训对金融分析师预测精度的影响。选取了10位金融分析师，在接受特定培训前后，分别记录他们对某股票未来价格的预测误差。以下是这10位分析师在接受培训前后对同一股票价格预测的平均误差（单位：美元）：

分析师编号 培训前误差 培训后误差
1 2.5 2.0
2 3.0 2.7
3 1.8 1.5
4 2.0 1.6
5 2.3 2.1
6 1.5 1.2
7 2.2 2.0
8 2.8 2.4
9 1.7 1.3
10 2.6 2.2

Remark: 原题是关于睡眠质量的问题, 这里是我们生成的数据.

请检验这种培训是否对金融分析师的预测误差有显著影响, 其中显著性水平为 0.05.

Solution: 考虑配对样本tt检验.

根据计算结果，差值的平均值为 0.34 美元，标准差为 0.097 美元，计算得到的 ( t ) 值为 11.13. 在自由度为 9 和显著性水平为 0.05 的等尾检验中，临界值为 2.26. 由于计算得到的 ( t ) 值远大于临界值，我们拒绝原假设，认为培训对金融分析师的预测误差有显著性影响.

Remark: 原题是关于睡眠质量的问题, 这里是我们生成的数据.

二、(20分) 设 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n 是来自 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2) 的独立样本, 且 μ,σ2\mu,\sigma^2 未知, 已知有P(X>a)=0.05P(X>a)=0.05, 求 aa 的 MLE.

Solution: 直接计算有

P(X>a)=P(X−μσ>a−μσ)=0.05\begin{aligned} P(X>a)= P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}>\frac{a-\mu}{\sigma}\right)=0.05 \end{aligned}

从而有

a−μσ=u0.95⇒a=μ+u0.95σ.\frac{a-\mu}{\sigma}=u_{0.95} \Rightarrow a = \mu + u_{0.95} \sigma.

由极大似然估计的不变性可知

a^=Xˉ+u0.95Sn.\hat{a} = \bar{X} +u_{0.95} S_n.

三、(15分) 设 X,YX,Y 独立服从 N(0,1)N(0,1), 求 Emax⁡{X,Y}E\max\{X,Y\}.

Solution: 茆书原题. 考虑max⁡{X,Y}=X+Y+∣X−Y∣2\max\{X,Y\}=\frac{X+Y+|X-Y|}{2}. 从而有 Emax⁡{X,Y}=E∣X−Y∣/2E\max\{X,Y\}=E|X-Y|/2.
由经典结论, 若Y∼N(0,σ2)Y\sim N(0,\sigma^2), 有E∣Y∣=2πσE\left| Y \right|=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sigma; 更一步(见2023复旦432第三题), 若Y∼N(μ,σ2)Y\sim N(\mu,\sigma^2), 有E∣Y∣=2πσe−μ22σ2+μ(2Φ(μσ)−1)E\left| Y \right|=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sigma e^{-\frac{\mu^2}{2\sigma^2}}+\mu\left( 2\Phi \left( \frac{\mu}{\sigma} \right) -1 \right) .
而X−Y∼N(0,2)X-Y\sim N(0,2). 故有Emax⁡{X,Y}=E∣X−Y∣/2=1/πE\max\{X,Y\}=E|X-Y|/2=1/\sqrt{\pi}.

四、(15分) 利用统计方法求极限:

lim⁡n→∞3n∫0∞⋯∫0∞cos⁡(x1+⋯+xnn)e−3(x1+⋯+xn)dx1⋯dxn.\lim \limits_{n\to \infty} 3^n \int_{0}^{\infty} \cdots \int_{0}^{\infty} \cos \left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right) e^{-3\left(x_1+\cdots+x_n\right)} \mathrm{d}x_1\cdots \mathrm{d}x_n.

Solution:考虑服从期望为1/3的指数分布i.i.d.随机变量X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n, 原极限为

I=lim⁡n→∞E[cos⁡(X1+⋯+Xnn)],I = \lim \limits_{n\to \infty} E\left[ \cos \left(\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}\right) \right],

根据大数定律, 有 Yn=X1+⋯+Xnn→P1/3Y_n = \frac{X_1+\cdots+X_n}{n} \xrightarrow{P} 1/3, 故也有 cos⁡Yn→cos⁡13\cos Y_n \to \cos \frac{1}{3}. 由于 cos⁡x\cos x 函数有界, 根据控制收敛定理, 有

I=lim⁡n→∞E[cos⁡Yn]=E[lim⁡n→∞cos⁡Yn]=cos⁡13.I = \lim \limits_{n\to \infty} E\left[ \cos Y_n \right] = E\left[ \lim \limits_{n\to \infty} \cos Y_n \right] = \cos \frac{1}{3}.