北京大学光华-431金融学统计-2024年

一、(20分) 某研究员想要了解某种特定培训对金融分析师预测精度的影响。选取了10位金融分析师，在接受特定培训前后，分别记录他们对某股票未来价格的预测误差。以下是这10位分析师在接受培训前后对同一股票价格预测的平均误差（单位：美元）：

分析师编号	培训前误差	培训后误差
1	2.5	2.0
2	3.0	2.7
3	1.8	1.5
4	2.0	1.6
5	2.3	2.1
6	1.5	1.2
7	2.2	2.0
8	2.8	2.4
9	1.7	1.3
10	2.6	2.2

Remark: 原题是关于睡眠质量的问题, 这里是我们生成的数据.

请检验这种培训是否对金融分析师的预测误差有显著影响, 其中显著性水平为 0.05.

二、(20分) 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是来自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的独立样本, 且 $\mu,\sigma^2$ 未知, 已知有$P(X>a)=0.05$, 求 $a$ 的 MLE.

三、(15分) 设 $X,Y$ 独立服从 $N(0,1)$, 求 $E\max\{X,Y\}$.

四、(15分) 利用统计方法求极限:

$\lim \limits_{n\to \infty} 3^n \int_{0}^{\infty} \cdots \int_{0}^{\infty} \cos \left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right) e^{-3\left(x_1+\cdots+x_n\right)} \mathrm{d}x_1\cdots \mathrm{d}x_n.$