北京师范大学-432统计学-2024年

一、(30分) 试卷中给出了一组数据.

(1) 求该组数据 α\alpha 分位数的表达式.

(2) 用两种盒形图描述以上数据, 并说明主要数值的具体含义.

(3) 设 wi∈(0,1)w_i \in (0,1), 且 ∑i=1nwi=1\sum_{i=1}^n w_i = 1, 定义 Xˉw=∑i=1nwiXi\bar{X}_w = \sum_{i=1}^n w_i X_i, 证明:

∑i=1n(Xi−Xˉw)2=12∑i=1nwiwj(Xi−Xj)2\sum_{i=1}^n \left( X_i - \bar{X}_w \right)^2 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n w_iw_j \left(X_i-X_j\right)^2

并解释该等式的含义.

二、(30分) 袋中有 nn 个编号为 1,2,⋯ ,n1,2,\cdots,n 的小球, 随机取 11 个.

(1) 写出该问题的概率空间.

(2) 设 n=4n=4, 举例分别满足以下的事件 A,B,CA, B, C:

(a) P(B∣A)<P(B)P(B|A)<P(B);

(b) P(B∣A)=P(B)P(B|A) = P(B);

(c) P(B∣A)>P(B)P(B|A) > P(B);

(d) 两两独立, 但不相互独立.

(3) 设袋中有 aa 个红球, bb 个白球, 假设每次从袋中有放回去取一个球, 直到摸到第 rr 个红球停止, 此时次数为 XX, 求 XX 的分布列和期望.

三、(30分) 有来自 U(a,b)U(a,b) 的随机样本 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n.

(1) 求 b−ab-a 的 MLE, 判断其无偏性.

(2) 求 b−ab-a 的矩估计.

(3) 在某次拍卖会, 甲、乙、丙对一件物品竞拍, 每人出价一次, 价高者得. 且已知甲如果买下该商品, 将以 8 万元转卖. 现在甲知道乙、丙的出价均独立服从 U(5,10)U(5,10), 请问甲如何出价使得期望收益最大?

四、(30分) (1) 作出原假设的依据是什么? 原假设和备择假设的地位是否等同?

(2) 以正态分布为例, 简述置信区间和假设检验的区别和联系.

(3) 现有 81 个学生的成绩, 假设其来自于正态分布 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2), 且样本均值 Xˉ=69.8\bar{X} = 69.8, 样本标准差 s=10s = 10, α=0.05\alpha =0.05. (可能用到的分位数: t0.975(80)=1.99t_{0.975}(80)=1.99, u0.975=1.96u_{0.975} = 1.96, χ0.9752(80)=106.63\chi_{0.975}^2(80)=106.63 ) 请回答下述问题:

(a) 能否认为 μ=72\mu = 72?

(b) 求 μ\mu 的置信区间.

(c) 能否认为 σ=8.8\sigma = 8.8?

五、(20分) 现有回归模型 yi=β0+βixi+εiy_i = \beta_0 + \beta_i x_i + \varepsilon_i.

(1) 写出判定系数 R2R^2 的表达式并解释含义.

(2) 请画出方差分析表. (表中写出各种量的公式)

(3) 对于给定的第 ii 组数据 (xi,yi)(x_i,y_i), 如何判断它对模型的影响力?

(4) 对于样本 (xi,yi)(x_i,y_i) 和 (xj,yj)(x_j,y_j), 这两点连成的斜率是 aija_{ij}, 其中 i=1,⋯ ,ni=1,\cdots,n, j=1,⋯ ,nj=1,\cdots,n, 证明: {aij}\{a_{ij}\} 的某一线性组合是 β1\beta_1 的最小二乘估?

六、(10分) 设 U1,U2U_1, U_2 独立, 且期望都是 00, 方差是 σ2\sigma^2, 定义

Xt=U1sin⁡(2πω0t)+U2cos⁡(2πω0t).X_t = U_1 \sin \left(2\pi \omega_0 t\right) + U_2 \cos \left(2\pi \omega_0 t \right).

(1) 求 {Xt}\{X_t\} 的自协方差函数;

(2) 对于自协方差函数 {gk,k∈Z}\{g_{k},k\in Z\}, 如果对任意 nn, 对任意序列 α⊤=(a1,a2⋯ )\alpha^{\top} =\left(a_1,a_2\cdots\right), 有 ∑k=1n∑j=1nakajg(k−j)≥0\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^n a_k a_j g\left(k-j\right) \ge 0, 则称自协方差函数非负定, 证明: (1) 中的自协方差函数非负定.

(3) 样本自协方差函数是

{γ^(h)=1n∑t=1n−h(Xt+h−Xˉ)(Xt−Xˉ),0≤h≤n−1.γ^(h)=γ^(−h),n−1≤h<0,\begin{cases} \widehat{\gamma }(h)=\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n-h}{\left( X_{t+h}-\bar{X} \right)}\left( X_t-\bar{X} \right) ,& 0\le h\le n-1.\\ \widehat{\gamma }(h)=\widehat{\gamma }(-h),& n-1\le h<0,\\ \end{cases}

证明样本自协方差矩阵

Γ^n=[γ^0γ^1⋯γ^n−1γ^−1γ^0⋯γ^n−2⋮⋮⋮γ^−(n−1)γ^−(n−2)⋯γ^0]\widehat{\Gamma }_n=\left[ \begin{matrix} \widehat{\gamma }_0& \widehat{\gamma }_1& \cdots& \widehat{\gamma }_{n-1}\\ \widehat{\gamma }_{-1}& \widehat{\gamma }_0& \cdots& \widehat{\gamma }_{n-2}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ \widehat{\gamma }_{-(n-1)}& \widehat{\gamma }_{-(n-2)}& \cdots& \widehat{\gamma }_0\\ \end{matrix} \right]

是非负定的.