北京大学数院-856大数据-2025年

$n$ 个人随机选三门课，求至少有一门课没人选的概率。（15分）
随机变量 $(X,Y)\sim N(u_1,u_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$ , $U=X+CY$ , $V=Y-CY$ ,求 $(U,V)$ 的分布，并求 $U,V$ 独立时， $C$ 的值。（15分）
$X_1, X_2, \ldots, X_n \overset{\text{iid}}{\sim} N(u,\frac{1}{\lambda})$ ,u已知，且有 $\lambda \sim Gamma(\alpha,\beta)$ ，其中 $f(\lambda|\alpha,\beta) =\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\lambda^{\alpha-1}exp(-\beta\lambda)$ ,求 $\lambda |\vec{X}$ 和 $E(\lambda| \vec{X})$ 。（20分）
$X_1, X_2, \ldots, X_m \overset{\text{iid}}{\sim} N(u_1, \sigma^2)$ , $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n \overset{\text{iid}}{\sim} N(u_2, \sigma^2)$ ,其中 $\sigma^2$ 未知，求 $u_1-Cu_2$ 的 $1-\alpha$ 的置信区间, $C$ 为常数。（20分）
$Y_i = \beta x_i + \epsilon_i$ , $i =1,...,n$ ,其中 $\epsilon_i \overset{\text{iid}}{\sim} N(0,\sigma^2)$
(1)求 $\hat{\beta}_{MSE}$ ，给出 $\sigma^2$ 的一个无偏估计。（5分）
(2)求 $\beta$ 的 $1-\alpha$ 的置信区间。（5分）
(3)设 $y_0 = \hat{\beta}X_0 + \epsilon_0$ ， $\epsilon_0 \text{与} \epsilon_i$ 独立，给出 $y_0$ 的 $1-\alpha$ 的预测区间。（10分）
(1)比较顺序查找、折半查找和散列查找，并说明为什么有散列和二分这种快速查找还需要顺序。（5分）
$\quad$ (2)比较栈和队列。（5分）
$\quad$ (3)说说 $B_{+}$ 树与 $B$ 树相比的优点。（5分）
开放地址法建立散列表。（15分）
给出Kruskal建边的顺序。（15分）
写出堆排序的代码，并说明堆排序是否稳定。（15分）