中国科学技术大学-432统计学-2025年

一、填空题

  1. AA发生的概率为pp,BB发生的概率为qq,A,BA,B为两个基本事件，且p+q≤1p+q\le1,求AA先于BB发生的概率.（6分）

  2. X,Y,ZX,Y,Z为相互独立的标准正态分布，且相互独立，求E(X+Y∣X+Y+Z)E(X+Y|X+Y+Z).（6分）

  3. a(X1+X2)X32+X42+X52\frac{a(X1+X2)}{\sqrt{X_3^2+ X_4^2+ X_5^2}}服从tt分布,且Xi∼N(0,σ2),iidX_i \sim N(0,\sigma^2),iid，求aa.（6分）

  4. (X,Y)∼N(0,0,1,4,−0.5)(X,Y) \sim N(0,0,1,4,-0.5),求Z=aX+(1−a)YZ = aX +(1-a)Y的方差最小时，aa的取值.（6分）

  5. X∼Possion(3)X \sim Possion(3),求P(nXˉ≤3(n+1))P(\sqrt{n}\bar{X} \le 3(\sqrt{n}+1))（用标准正态分布函数表示）（6分）

二、选择题

  1. α\alpha是显著性水平，pp是pp值，则(\quad)（6分）
    A. pp小于α\alpha应拒绝原假设。
    B. pp值与α\alpha有关
    C.pp值与原假设无关。
    D.pp值与备择假设无关。

  2. Xˉ\bar{X}是N(u,σ2)N(u,\sigma^2)的样本均值，S2S^2是样本方差,则(\quad)（6分）
    A. ss为σ\sigma的无偏估计。
    B. ss为σ\sigma的MLE。
    C.Xˉ\bar{X}与SS独立。
    D.nS2σ2∼χn2\frac{nS^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_n

  3. F(X)F(X)是分布函数，则下面（\quad）可能不是分布函数（6分）
    A. (F(X))2(F(X))^2
    B.F(X)−(1−F(X))ln(1−F(X))F(X) - (1-F(X))ln(1-F(X))
    C.
    D.2(F(X))2−F(X)2(F(X))^2-F(X)

  4. θ∼U(0,π)\theta\sim U(0,\pi),X=cosθ,Y=sinθX=cos\theta, Y = sin\theta, 则X,YX,Y(\quad):（6分）
    A.不独立，不相关。
    B.独立，不相关。
    C.不独立，相关。
    D.

  5. uu置信区间（95%）为[0.25,0.95][0.25,0.95],X∼N(u,1)X\sim N(u,1),求P(X≤0)P(X\le 0)相同置信度的区间（）（6分）
    A.[Φ(0.25),Φ(0.95)][\Phi(0.25),\Phi(0.95)]
    B.[1−Φ(0.95),1−Φ(0.25)][1-\Phi(0.95),1-\Phi(0.25)]
    C.[0.25,0.95][0.25,0.95]
    D.

三、计算题

  1. f(x,y)=12(x+y)e−(x+y),x,y>0f(x,y) = \frac{1}{2}(x+y)e^{-(x+y)},x,y>0.
    (1)X,YX,Y同分布吗，独立吗.(5分)
    (2)求fX(x∣Y)f_X(x|Y)（5分）
    (3)Z=X+YZ=X+Y,求fZ(z)f_Z(z)（5分）

  2. X1,X2,X3X_1, X_2, X_3为U(0,1)U(0,1)三个统计量.
    (1)求P(X1=X(1),X2=X(2),X3=X(3))P(X_1 = X_{(1)}, X_2=X_{(2)}, X_3=X_{(3)})（2分）
    (2)求fX(2)(x(2))f_{X_{(2)}}(x_{(2)})（3分）
    (3)Y=−ln(X(3))Y = -ln(X_{(3)}),求其分布（5分）
    (4)E(X(3)−X(1))E(X_{(3)}- X_{(1)})（5分）

  3. f(x)=−θxlnθ,θ∈(0,1)f(x) = -\theta^xln\theta, \theta\in(0,1),X1,...XnX_1,...X_n为样本。
    (1)求θ\theta的矩估计。（5分）
    (2)1lnθ\frac{1}{ln\theta}的MLE估计g^\hat{g}。（5分）
    (3)若limn→∞P(n(g^−a)b≤x)=Φ(x)lim_{n\to\infty}P(\frac{\sqrt{n}(\hat{g}-a)}{\sqrt{b}}\le x) = \Phi(x),求a,ba,b。（5分）

  4. X1,X2,...X100∼N(u,1)X_1, X_2,...X_{100} \sim N(u, 1)
    (1)H0:u=0⇔H1:u≠0H_0:u=0 \Leftrightarrow H_1:u\ne0，求拒绝域，显著水平为0.05。（7分）
    (2)若真实值为0.4，求检验功效(保留俩位小数).(Φ(1.645)=0.95,Φ(1.96)=0.975,Φ(2.04)=0.98)(\Phi(1.645) =0.95, \Phi(1.96)=0.975,\Phi(2.04)=0.98)（8分）

  5. 有一家公司，其提供的信息是他的产品中会随机含有6种糖中的一种，出现概率为:A:0.2, B:0.2, C:0.2, D:0.15, E:0.15, F:0.10.买了1000粒，经过统计得到含各种糖的个数为:A:180, B:190, C:185, D:165, E:160, F:120.问信息是否准确。（15分）

  6. y=Xβ+ϵ,ϵ∼N(0,σ2In)y=X\beta + \epsilon, \epsilon \sim N(0,\sigma^2I_n)，XX为设计矩阵。
    (1)OLS与MSE是否一样，说明理由。（7分）
    (2)X0X_0是新得到的，y0=X0Tβ+ϵ0y_0 = X_0^T\beta + \epsilon_0,ϵ0\epsilon_0与ϵ\epsilon独立，预测值y0^=X0Tβ^\hat{y_0} = X_0^T\hat{\beta}，问预测值的均方误差。（8分）