中国科学技术大学-812概率论与数理统计-2025年

甲乙两队比赛，3局2胜制，每局结果相互独立，甲每局获胜概率0.6，甲队现有只能使用 1次的战术，使当局获胜的概率提升至0.65，但若此局失败，之后每局获胜概率降至0.5，试计算甲最终获胜的概率，并以此说明在第几局使用该战术最佳.（15分）
$X_i \sim N(u,\sigma_i^2),iid，i=1,2,3,4$ , $\sigma_i^2$ 各不相同.
(1)求 $X_1+X_2$ 的分布密度.（7分）
(2)求 $\frac{X_1-X_2}{X_3-X_4}$ 的分布密度.（8分）
$X,Y$ 是两电子器件寿命分布，分别为： $X\sim Exp(1), Y\sim Exp(2)$ , $X,Y$ 独立。求(1)串联，（5分）(2)并联，（5分）(3)备用，（5分）三种结构下的分布、期望，以及串联和并联下的协方差.
$\{ X_i\},i =1,2,..,n$ 独立，服从期望为 $u$ ，方差各不相同但最大方差为 $b$ .证明: $S = \frac{X_1+X_2+...X_n}{n}$ 为 $u$ 的相合估计.（20分）
双参数指数分布 $Exp(\frac{1}{\lambda}, u)$ , $X_1,...X_n$ 为样本,证明: $(X_{(1)}, \sum_{i=2}^{n}X_{(i)})$ 是 $u,\lambda$ 的充分统计量.（20分）
$(X_1,X_2,X_3,X_4) \sim M(n;\frac{1}{2}+\frac{\theta}{4},\frac{1}{4}-\frac{\theta}{4},\frac{1}{4}-\frac{\theta}{4},\frac{\theta}{4})$ ,样本 $(x_1,x_2,x_3,x_4),\sum_{i=1}^{4} x_i=n$ ,潜变量 $Z:(X_1-Z,Z,X_2,X_3,X_4) \sim M(n;\frac{1}{2}-\frac{\theta}{4},\frac{\theta}{2},\frac{1}{4}-\frac{\theta}{4},\frac{1}{4}-\frac{\theta}{4},\frac{\theta}{4})$ .
(1)求 $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ 的对数似然函数.（5分）
(2)求 $Z$ 在 $(X_1,X_2,X_3,X_4)$ 下的条件分布.（5分）
(3)不清楚（5分）
(4)求 $\mathcal{\theta}^t$ （10分）
$X_1,...,X_n$ , $Y_1,... Y_n$ 独立， $X_i \sim N(u_1, \sigma^2), Y_i \sim N(u_2, \sigma^2),\sigma$ 已知.$$H_0:u_1= u_2 \Leftrightarrow H_1:u_1-u_2 \ne \delta _n$$
且 $n\to \infty$ 时， $\delta_n \to 0$ .
(1)水平 $\alpha$ 下的拒绝域，功效函数，第二类错误.（10分）
(2) $\delta_n$ 以多大速度趋于0时，第二类错误趋于0.（10分）
多元线性模型：
$y = b_0 + x_1b_1+...+x_pb_p+e, \quad e\sim N(0,\sigma^2)$
样本： $\{y_i, x_{i1},...,x_{ip}\}, i=1,2,...,n$ .
记 $X$ 为第 $i,j$ 元素为 $X_{i,j}$ 的矩阵， $(X^TX)$ 为 $(p+1)\times (p+1)$ 的可逆矩阵.
(1) $(b_0,b_1,...b_p)$ 的最小二乘表达式.（5分）
(2)求 $\sigma^2$ 的相合估计表达式.（7分）
(3)基于(2)给出以下检验问题的统计量，及拒绝域.(8分)
$H_0:\sigma^2\ge c \Leftrightarrow H_1:\sigma^2 <c$