清华大学-432统计学-2025年

1.设有只取非负整数值的独立随机变量$X,Y$,定义$U= min\{X,Y\}, V=X-Y$,试证明：$U,V$独立的充分必要条件是$X,Y$服从几何分布且参数相同。（30分）

2.离散总体X,分布为$P(X=k) = c\frac{\lambda^k}{k!},k=1,2...,$未知参数$\lambda>0, c>0$,$x_1,x_2,...x_n$为总体$X$的随机样本.
(1)求$c$。（10分）
(2)求$E(X), Var(X)$。（10分）
(3)证明：$\lambda$最大似然估计$\hat{\lambda_n}$存在且唯一。（10分）
(4)求出$\lambda$最大似然估计$\hat{\lambda_n}$的渐进分布。（10分）

3.$x_1,x_2,...x_n$为总体是$B(1,p)$的随机样本，$n\ge2$,$p\in(0,1)$,定义$\sigma_p^2 = p(1-p),\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i, S_n = \frac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar{x})^2, V_n = \frac{1}{n}\sum(x_i, \bar{x})$，其中$\xrightarrow{d}$为分布收敛。
(1)$S_n^2, V_n^2$是否为$\sigma_p^2$的无偏估计。(10分)
(2)$S_n^2, V_n^2$是否为$\sigma_p^2$的相合估计。（10分）
(3)取$p=\frac{1}{2}$,证明:存在非退化随机变量$Z_1, Z_2$使$n(S_n^2 - \frac{1}{4})\xrightarrow{d}Z_1$,$n(V_n^2 - \frac{1}{4})\xrightarrow{d}Z_1, n \to \infty$,给出具体的分布。(20分)

4.设$x_1,...x_m$为来自均匀分布$U(0,\theta_1)$总体的随机样本，$y_1,...y_n$为来自均匀分布$U(0,\theta_2)$总体的随机样本,两样本随机样本相互独立，$\theta_1>0,\theta_2>0$。
(1)求$H_0:\theta_1 = \theta_2 \leftrightarrow H_1:\theta_1 \ne \theta_2, \alpha \in(0,1)$的似然比检验。（15分）
(2)$U=max\{x_1,.. x_m\}$,是否分别存在$\theta_1$形成$[aU,bU]$和$[c+U,d+U]$置信水平位$1-\alpha$的置信区间，$1\le a< b, 0\le c<d$,其中$a,b,c,d$为常数，$\alpha \in (0,1)$（15分）
(3)若(2)中置信区间存在，当$m=1$时，求出置信区间长度的期望最小时对应的$a,b$或$c,d$的值。（10分）