复旦大学-432统计学-2025年

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复旦大学-432统计学-2025年

(10分) 你和李四一起玩骰子，一共有 $A$ , $B$ , $C$ 三种骰子，分别为 $A$ = “115555”, $B$ = “333444”, $C$ = “222266”, 李四先从中选，你从剩下的里面再选，请问你的策略是什么？（即李四选 $A$ , $B$ , $C$ 其中一个，你如何应对使得投出来的点数大于他的概率更大？
(10分) $X$ , $Y$ 服从两点分布，则它们独立的充要条件是： $Cov(X,Y)=0$ .
(10分) 设概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 中的 $\Omega$ 的元素个数为 $n$ ，是古典概型，非平凡事件 $A, B$ 独立.
（1）证明： $|A \cap B||A^c \cap B^c| = |A^c \cap B||A \cap B^c|$ ;
（2）证明： $n$ 为合数.
(10分) 若 $P(X \leq x, Y \leq y) = F(\min(x, y))$ ，证明： $P(X = Y）= 1$ .
(15分) $X$ , $Y$ 独立同分布于 $F$ ，二阶矩存在，证明：

（1） $E|X-Y|^2 = 2Var(X)$
（2） $Var(\sin x) \leq Var(x)$

(10分) $X_1, X_2$ 独立同分布于 $U(0,1)$ , 记 $Y_1 = \min(X_1, X_2), Y_2 = \max(X_1, X_2)$ , 计算 $E[X_1|Y_2]$ .
(15分) 给定二元函数

f(x,y)=c\left(e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac{xy(x^2-y^2)}{\sqrt{e}}I_{D}(x,y)\right)

其中 $D=\{(x,y) \mid x^2+y^2 \leq 1\}$ ， $c$ >0。

(1) 证明： $f(x,y) > 0$ ；

(2) 设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $f(x,y)$ ，求 $c$ 。

(3) 求 $X,Y$ 的边缘分布，求 $\text{Cov}(X,Y)$ ， $X$ 和 $Y$ 是否独立？

(10分) 打怪物会爆装备1和2，爆出装备1的概率是0.2 ，爆出装备2的概率是 0.2，不获得任何装备的概率是0.6，设 $\tau$ 是集齐装备所用的次数，求 $E\tau$ ， $Var\tau$ .
(15分) 设 $X_1, \cdots, X_n$ 独立同分布于连续函数 $F$ , 样本 $Y_i = \mu + \sigma[-\ln F(X_i)]^{-\frac{1}{2}}$ , $\mu>0,\sigma>0$

(1) 求 $(\mu,\sigma)$ 的最大似然估计。

(2) 若 $\mu$ 已知，求 $\sigma^2$ 的充分统计量。

(15分)设总体为对数正态分布 $LN(\mu, \sigma^2)$ ，简单样本为 $X_1, \cdots, X_n$ .

(1) 求 $\mu$ 的矩估计、最大似然估计。

(2) 求 $\theta = e^{\mu + \frac{1}{2}}$ 的最大似然估计，并分析其是否无偏。

(15分) 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为:

f(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta -1}, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

设 $X_1, X_2$ 来自该总体的样本，考虑假设检验问题：

H_0: \theta = 1 \leftrightarrow H_1: \theta = 2,

其否定域为 $W = \{(X_1, X_2) \mid X_1 X_2 > \frac{3}{4}\}$ ，求第一、二类错误的概率.

(15分) 设总体 $X$ 满足 $P(X > x | \theta) = e^{-(\theta x)^k}$ ，参数 $\theta$ 的先验分布满足 $\theta^k\sim \Gamma(\alpha, \beta)$ ，这里 $\alpha = 2$ , $\beta = 1$ , $k = 2$ ，给定样本 $x_1, \ldots, x_n$ ，求 $\theta$ 的后验分布.