北京大学-431金融学综合-2025年

2025统计部分解析

一 、不定项选择题（多选，少选，错选均不得分)。（16分，每题4分）

  1. X1,…,Xn∼i.i.d.N(0,1)X_1, \ldots, X_n \overset{i.i.d.}{\sim} N(0,1)下列说法正确的是：(\quad)

    A. xˉ∼N(0,1n2)\bar{x}\sim N(0,\frac{1}{n^2})

    B. nxˉS∼t(n−1)\frac{\sqrt{n}\bar{x}}{S}\sim t(n-1)

    C. ∑i=1nXi2∼χ2(n)\sum_{i=1}^{n} {X_i}^2 \sim \chi^2(n)

    D. nxˉ∼N(0,n)n\bar{x} \sim N(0,n)

    Solution:BCD
    A. 样本均值 xˉ\bar{x} 的分布是 N(0,1n)N(0,\frac{1}{n}) ，错误。


  1. X1,…,XnX_1, \ldots, X_n为总体分布的简单随机样本，下列是总体均值的无偏估计的有：（\quad）
    A. X1X_1
    B. Xˉ\bar{X}
    C. X1−X2+XnX_1-X_2+X_n
    D. 10X1−9Xn10X_1-9X_n

    Solution:ABCD
    只要审题清楚就不会错。

  1. X1,…,XnX_1, \ldots, X_n为F(X,θ)F(X,\theta)的简单随机样本，下列说法正确的是：(\quad)

    A. 似然函数是 θ\theta的函数

    B. 似然函数是X1,…,XnX_1, \ldots, X_n的函数

    C. g(θ)g(\theta)的极大似然估计是g(θ^)g(\hat{\theta}),其中θ^\hat{\theta}为θ\theta的极大似然估计

    D. 最⼤似然估计是似然函数的最⼤值

    Solution:AC

A. 似然函数是给定样本数据 X1,…,XnX_1, \ldots, X_n 时，参数 θ\theta 的函数，正确。
B. 似然函数是参数 θ\theta 的函数，而不是样本数据 X1,…,XnX_1, \ldots, X_n 的函数，错误。
C. 由极大似然估计的函数不变性，前提是 gg 是一个连续函数，正确。
D. 最大似然估计是使似然函数达到最大值的参数 θ\theta 的值，而不是似然函数的最大值本身，错误。


  1. 下列说法正确的是：(\quad)

    A. 样本量的增加可以提高检验的显著水平

    B. 经验分布函数是单调增函数

    C.样本容量越大，样本方差越小

    D.统计量是样本的函数

    Solution:D 或 BD
    A.样本量的增加可以提高检验的统计功效，但并不能直接提高检验的显著水平, 显著水平通常由研究者设定, 错误。
    C. 容量越大，方差的估计越稳定，但并不一定越小。方差的大小取决于数据的离散程度，而不是样本容量, 错误。
    D.统计量是根据样本数据计算得到的数值，可以视为样本的函数,正确。
    B.有歧义，茆书：经验分布函数为一非减右连续函数

二、（10分）下列为来自取值为非负整数总体的简单随机样本，样本均值为1.45，样本方差为1.8.

取值 0 1 2 3 4 5
频数 250 200 180 100 50 20
频率 0.3125 0.25 0.225 0.125 0.0625 0.025

（1）求出上述样本的经验分布函数

（2）利用经验分布计算零点的取值概率；取值大于2且小于等于4的概率。

Solution:
（1）经验分布函数 Fn(x)F_n(x) 是一个阶梯函数，它在每个样本点 xix_i 处跳跃，跳跃的高度等于该样本点的累积频率。

Fn(x)={0if x<00.3125if 0≤x<10.5625if 1≤x<20.7875if 2≤x<30.9125if 3≤x<40.975if 4≤x<51if x≥5F_n(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x < 0 \\ 0.3125 & \text{if } 0 \leq x < 1 \\ 0.5625 & \text{if } 1 \leq x < 2 \\ 0.7875 & \text{if } 2 \leq x < 3 \\ 0.9125 & \text{if } 3 \leq x < 4 \\ 0.975 & \text{if } 4 \leq x < 5 \\ 1 & \text{if } x \geq 5 \end{cases}

(2) 根据经验分布函数， P(X=0)=Fn(0)−Fn(ϵ)=0.3125,ϵ→0−P(X=0) =F_n(0)-F_n(\epsilon)=0.3125,\epsilon \to 0^- ，所以零点的取值概率为0.3125。
取值大于2且小于等于4的概率为 P（2<x≤4）=Fn(4)−Fn(ϵ′)=0.975−0.7875=0.1875，ϵ′→2+P（2<x \leq 4）=F_n(4)-F_n({\epsilon}^{\prime})= 0.975 - 0.7875 = 0.1875，{\epsilon}^{\prime} \to 2^+ 。

三、（10分）简述两类错误的含义，并说明在统计检验中如何处理这两类错误的？

Solution:
设拒绝域为WW，原假设为H0H_0，备择假设为H1H_1.
(1) 第一类错误: 当原假设H0H_0为真时，我们错误地拒绝了原假设。这种错误也称为“弃真错误”。第一类错误的概率通常用α\alpha表示，α=P(位于拒绝域中且H0为真)\alpha=P(位于拒绝域中且H_0为真), 它也是我们设定的显著性水平。
(2)第二类错误: 当原假设H0H_0为假时，我们错误地接受了原假设。这种错误也称为“取伪错误”。第二类错误的概率通常用β\beta表示。β=P(位于接受域中且H1为真)\beta=P(位于接受域中且H_1为真)
在统计检验中，处理方法如下：
• 控制第一类错误：我们通过设定显著性水平α\alpha来控制第一类错误的概率。通常α\alpha被设定为 0.05 或 0.01，这意味着我们愿意接受 5%或 1%的弃真错误风险。
• 控制第二类错误：我们可以通过增加样本量来减小第二类错误的概率β\beta。此外，还可以选择更合适的检验统计量或使用更精确的测量方法来降低β\beta。
• 权衡两类错误：在实际的统计检验中，我们通常需要在第一类错误和第二类错误之间做出权衡,需要根据具体的研究背景和研究目的来确定合适的α\alpha和β\beta。一般来说，会在控制第一类错误水平的基础上，尽量让第二类错误水平小。

四、（10分）设(X1,Y1),...(Xn,Yn){(X_1,Y_1),...(X_n,Y_n)}为一元线性回归模型Y=a+bX+ϵY=a+bX+\epsilon 的 nn 个观测样本，其中ϵ∼N(0,σ2)\epsilon \sim N(0,{\sigma}^2),记an^,bn^\hat{a_n},\hat{b_n}表示基于上述数据得到的a,ba,b的最小二乘估计值。

（1）若给定(X1,...,Xn){(X_1,...,X_n)}，给出∑i=1nYn\sum_{i=1}^{n}Y_n的分布

（2）Yk^=an^+bn^Xk\hat{Y_k}=\hat{a_n}+\hat{b_n}X_k,证明∑k=1nXk(Yk−Yk^)\sum_{k=1}^{n}X_k(Y_k-\hat{Y_k})=0,并说明其含义。

（3）证明an^,bn^\hat{a_n},\hat{b_n}分别为a,ba,b的无偏估计。

Solution:
（1） Yi∼N(a+bXi,σ2)Y_i \sim N(a+bX_i, \sigma^2) ， ∑i=1nYi∼N(b∑i=1nXi+na,nσ2)\sum_{i=1}^{n} Y_i \sim N( b\sum_{i=1}^{n} X_i+na , n\sigma^2) 。

（2）

Y^k=Yˉ−b^nXˉ+b^nXk=Yˉ+b^n(Xk−Xˉ)Yk−Y^k=Yk−Yˉ−b^n(Xk−Xˉ)∑k=1nXk(Yk−Y^k)=∑k=1nXk(Yk−Yˉ)−b^n∑k=1nXk(Xk−Xˉ)=∑k=1nXk(Yk−Yˉ)−b^n(∑k=1nXk2−nXˉ2)=∑k=1nXk(Yk−Yˉ)−∑k=1n(Xk−Xˉ)(Yk−Yˉ)∑k=1n(Xk−Xˉ)2(∑k=1nXk2−nXˉ2)\begin{aligned} \hat{Y}_k &= \bar{Y} - \hat{b}_n \bar{X} + \hat{b}_n X_k = \bar{Y} + \hat{b}_n (X_k - \bar{X}) \\ Y_k - \hat{Y}_k &= Y_k - \bar{Y} - \hat{b}_n (X_k - \bar{X})\\ \sum_{k=1}^{n} X_k (Y_k - \hat{Y}_k) &= \sum_{k=1}^{n} X_k (Y_k - \bar{Y}) - \hat{b}_n \sum_{k=1}^{n} X_k (X_k - \bar{X}) \\ &= \sum_{k=1}^{n} X_k (Y_k - \bar{Y}) - \hat{b}_n (\sum_{k=1}^{n} X_k^2 - n\bar{X}^2) \\ &= \sum_{k=1}^{n} X_k (Y_k - \bar{Y}) - \frac{\sum_{k=1}^{n} (X_k - \bar{X})(Y_k - \bar{Y})}{\sum_{k=1}^{n} (X_k - \bar{X})^2} (\sum_{k=1}^{n} X_k^2 - n\bar{X}^2)\\ \end{aligned}

由于:

∑k=1n(Xk−Xˉ)2=∑k=1nXk2−nXˉ2\sum_{k=1}^{n} (X_k - \bar{X})^2 = \sum_{k=1}^{n} X_k^2 - n\bar{X}^2

于是：

∑k=1nXk(Yk−Y^k)=∑k=1nXk(Yk−Yˉ)−∑k=1nXk(Yk−Yˉ)=0\sum_{k=1}^{n} X_k (Y_k - \hat{Y}_k) = \sum_{k=1}^{n} X_k (Y_k - \bar{Y}) - \sum_{k=1}^{n} X_k (Y_k - \bar{Y}) = 0

这个等式的含义是，最小二乘估计值 a^n\hat{a}_n 和 b^n\hat{b}_n 使得残差 Yk−Y^kY_k - \hat{Y}_k 与自变量 XkX_k 的乘积之和为零，即残差与自变量不相关。这是最小二乘法的一个重要性质，表明最小二乘估计值是无偏的。

(3)

S=∑i=1n(Yi−Y^i)2=∑i=1n(Yi−(a+bXi))2S = \sum_{i=1}^n (Y_i - \hat{Y}_i)^2 = \sum_{i=1}^n (Y_i - (a + bX_i))^2

∂S∂a=−2∑i=1n(Yi−a−bXi)=−2(∑i=1nYi−na−b∑i=1nXi)=0,a=Yˉ−bXˉ\frac{\partial S}{\partial a} = -2 \sum_{i=1}^n (Y_i - a - bX_i) = -2 \left( \sum_{i=1}^n Y_i - na - b \sum_{i=1}^n X_i \right) =0,\quad a = \bar{Y} - b \bar{X}

∂S∂b=−2∑i=1n(Yi−a−bXi)Xi=−2(∑i=1nYiXi−a∑i=1nXi−b∑i=1nXi2)=0,\frac{\partial S}{\partial b} = -2 \sum_{i=1}^n (Y_i - a - bX_i)X_i = -2 \left( \sum_{i=1}^n Y_i X_i - a \sum_{i=1}^n X_i - b \sum_{i=1}^n X_i^2 \right) =0,\quad

将 a=Yˉ−bXˉa = \bar{Y} - b \bar{X} 代入方程，得到：

∑i=1nYiXi−(Yˉ−bXˉ)∑i=1nXi−b∑i=1nXi2=0,b^n=∑i=1n(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)∑i=1n(Xi−Xˉ)2\sum_{i=1}^n Y_i X_i - (\bar{Y} - b \bar{X}) \sum_{i=1}^n X_i - b \sum_{i=1}^n X_i^2 = 0 ,\quad \hat{b}_n = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2}

E(b^n)=∑i=1n(Xi−Xˉ)E(Yi−Yˉ)∑i=1n(Xi−Xˉ)2=∑i=1n(Xi−Xˉ)(a+bXi−a−bXˉ)∑i=1n(Xi−Xˉ)2=∑i=1n(Xi−Xˉ)2b∑i=1n(Xi−Xˉ)2=b\begin{aligned} E(\hat{b}_n) &= \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})E(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2} \\ &= \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(a+ b X_i - a - b \bar{X})}{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2} \\ &= \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 b}{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2} \\ &= b \end{aligned}

a^n=Yˉ−b^nXˉ,E(a^n)=E(Yˉ−b^nXˉ)=E(Yˉ)−E(b^n)Xˉ=a+bXˉ−bXˉ=a\hat{a}_n = \bar{Y} - \hat{b}_n \bar{X}, E(\hat{a}_n) = E(\bar{Y} - \hat{b}_n \bar{X}) = E(\bar{Y}) - E(\hat{b}_n) \bar{X} = a+ b\bar{X} - b \bar{X} = a

所以，an^,bn^\hat{a_n},\hat{b_n}分别为a,ba,b的无偏估计。

五、（15分）设总体为(a,b)(a,b)上的均匀分布，a<ba<b, 设(X1,Y1),...(Xn,Yn){(X_1,Y_1),...(X_n,Y_n)}为该总体的简单随机样本，a,ba,b为未知参数。

根据X(1),X(n)X_{(1)},X_{(n)}构建aa的无偏估计

（1）求a,ba,b的矩估计

（2）求a,ba,b的极大似然估计

（3）上面关于aa的两个估计量无偏估计吗？如果不是，请说明是否存在无偏估计。

Solution:

(1)

E(X)=a+b2,Var(X)=(b−a)212E(X) = \frac{a + b}{2},\quad Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}

Xˉ=a+b2,Sn2=(b−a)212\bar{X} = \frac{a + b}{2} ,\quad {S_n}^2 = \frac{(b - a)^2}{12}

得到 aa 和 bb 的矩估计为：

a^=Xˉ−3Sn2,b^=Xˉ+3Sn2\hat{a} = \bar{X} - \sqrt{3{S_n}^2} ,\quad \hat{b} = \bar{X} + \sqrt{3{S_n}^2}

(2) 对于 [a,b][a, b] 上的均匀分布，其概率密度函数为：

f(x;a,b)={1b−aif a≤x≤b0otherwisef(x; a, b) = \begin{cases} \frac{1}{b - a} & \text{if } a \leq x \leq b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

似然函数为：

L(a,b)=∏i=1nf(Xi;a,b)=(1b−a)nL(a, b) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; a, b) = \left( \frac{1}{b - a} \right)^n

ln⁡L(a,b)=−nln⁡(b−a)\ln L(a, b) = -n \ln(b - a)

为了使似然函数最大，我们需要使 b−ab - a 最小。由于 a≤X(1)a \leq X_{(1)} 和 b≥X(n)b \geq X_{(n)} ，因此 aa 和 bb 的极大似然估计为：

a^MLE=X(1),b^MLE=X(n)\hat{a}_{MLE} = X_{(1)} ,\quad \hat{b}_{MLE} = X_{(n)}

(3) 对于矩估计 a^=Xˉ−3Sn2\hat{a} = \bar{X} - \sqrt{3 {S_n}^2} ，我们有：

E(a^)=E(Xˉ−3Sn2)=E(Xˉ)−E(3Sn2)=a+b2−E(3Sn2)E(\hat{a}) = E(\bar{X} - \sqrt{3 {S_n}^2}) = E(\bar{X}) - E(\sqrt{3 {S_n}^2}) = \frac{a + b}{2} - E(\sqrt{3 {S_n}^2})

由于 E(3Sn2)<E(3Sn2)<b−a2E(\sqrt{3 {S_n}^2}) < \sqrt{E(3{S_n}^2)} < \frac{b - a}{2} ，所以 E(a^)≠aE(\hat{a}) \neq a ，因此矩估计 a^\hat{a} 不是无偏估计。

Yi=Xi−ab−a,Yi∼U(0,1),Y(k)∼Beta(k,n−k+1)Y_i = \frac{X_i - a}{b - a}, \quad Y_i \sim U(0, 1), \quad Y_{(k)} \sim \text{Beta}(k, n-k+1)

则有：

Y(1)∼Beta(1,n),E(Y(1))=1n+1,E(X(1))=b−an+1+aY_{(1)} \sim \text{Beta}(1, n), \quad E(Y_{(1)}) = \frac{1}{n+1}, \quad E(X_{(1)}) = \frac{b - a}{n+1} + a

Y(n)∼Beta(n,1),E(Y(n))=nn+1,E(X(n))=n(b−a)n+1+aY_{(n)} \sim \text{Beta}(n, 1), \quad E(Y_{(n)}) = \frac{n}{n+1}, \quad E(X_{(n)}) = \frac{n(b - a)}{n+1} + a

对于极大似然估计，E(a^MLE)=E(X(1))E(\hat{a}_{\text{MLE}}) = E(X_{(1)})，由于 E(X(1))E(X_{(1)}) 并不等于 aa，所以极大似然估计 a^MLE\hat{a}_{\text{MLE}} 也不是无偏估计。

a^new=nX(1)−X(n)n−1\hat{a}_{\text{new}} = \frac{n X_{(1)} - X_{(n)}}{n - 1}

存在无偏估计，这个估计量是无偏的，因为：

E(a^new)=nE(X(1))−E(X(n))n−1=aE(\hat{a}_{\text{new}}) = \frac{n E(X_{(1)}) - E(X_{(n)})}{n - 1} = a

（如果用其他估计方法计算出的无偏估计也是可以的，答案不唯一）。

六、（15分）根据沪深300指数在2020年和2023年的年化日指数收益率得到的信息如下：

企业的股票收益率 样本容量 均值 标准差 偏度
2020年 244 26.5%26.5\% 22.3%22.3\% -0.84
2023年 242 −11.2%-11.2\% 10.1%10.1\% 0.34

(1) （3分）简要说明这两年日指数收益率的分布差异。

(2) （4分）将这两年的样本合并，求合并后的均值、标准差。

(3) （4分）说明如何检验这两年的日指数收益率均值是否存在显著差异。

(4) （4分）说明如何检验这两年的日指数收益率的标准差是否存在显著差异。

Solution:

(1) 均值差异：2020年的收益率均值为26.5%，而2023年为-11.2%，显示2020年的收益率远高于2023年。
标准差差异：2020年的标准差为22.3%，而2023年为10.1%，表明2020年的收益率波动性更大。
偏度差异：负偏度表明2020年的分布左偏，而正峰度表明2023年的分布右偏，两者的形态不同。

(2)

Xˉcombined=n2020⋅Xˉ2020+n2023⋅Xˉ2023n2020+n2023≈7.73%\bar{X}_{\text{combined}} = \frac{n_{2020} \cdot \bar{X}_{2020} + n_{2023} \cdot \bar{X}_{2023}}{n_{2020} + n_{2023}} \approx 7.73\%

令: ( n = n_{2020} + n_{2023} = 244 + 242 = 486 )

Scombined=∑i=1n(Xi−Xˉcombined)2n−1=∑i=1n2020(Xi−Xˉcombined)2+∑i=n2020+1ncombined(Xi−Xˉcombined)2n−1∑i=1n2020(Xi−Xˉcombined)2=∑i=1n2020(Xi−X2020ˉ+X2020ˉ−Xˉcombined)2=∑i=1n2020(Xi−X2020ˉ)2+∑i=1n2020(X2020ˉ−Xˉcombined)2∑i=n2020+1ncombined(Xi−Xˉcombined)2=∑i=n2020+1ncombined(Xi−X2023ˉ)2+∑i=n2020+1ncombined(X2023ˉ−Xˉcombined)2\begin{aligned} S_{\text{combined}} &= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X}_{\text{combined}})^2}{n-1}} \\ &= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n_{2020}} (X_i - \bar{X}_{\text{combined}})^2 + \sum_{i=n_{2020}+1}^{n_{\text{combined}}} (X_i - \bar{X}_{\text{combined}})^2}{n-1}} \\ \sum_{i=1}^{n_{2020}} (X_i - \bar{X}_{\text{combined}})^2 &= \sum_{i=1}^{n_{2020}} (X_i - \bar{X_{2020}} + \bar{X_{2020}} - \bar{X}_{\text{combined}})^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n_{2020}} (X_i - \bar{X_{2020}})^2 + \sum_{i=1}^{n_{2020}} (\bar{X_{2020}} - \bar{X}_{\text{combined}})^2 \\ \sum_{i=n_{2020}+1}^{n_{\text{combined}}} (X_i - \bar{X}_{\text{combined}})^2 &= \sum_{i=n_{2020}+1}^{n_{\text{combined}}} (X_i - \bar{X_{2023}})^2 + \sum_{i=n_{2020}+1}^{n_{\text{combined}}} (\bar{X_{2023}} - \bar{X}_{\text{combined}})^2 \end{aligned}

Scombined=(n2020−1)S20202+(n2023−1)S20232+n2020(Xˉ2020−Xˉcombined)2+n2023(Xˉ2023−Xˉcombined)2n−1≈25.6%S_{\text{combined}} = \sqrt{\frac{(n_{2020} - 1)S_{2020}^2 + (n_{2023} - 1)S_{2023}^2 + n_{2020}(\bar{X}_{2020} - \bar{X}_{\text{combined}})^2 + n_{2023}(\bar{X}_{2023} - \bar{X}_{\text{combined}})^2}{n - 1}} \approx 25.6\%

(3)

  1. 设定原假设和备择假设：

H0:μ2020=μ2023,H1:μ2020≠μ2023H_0 : \mu_{2020} = \mu_{2023}, \quad H_1: \mu_{2020} \neq \mu_{2023}

  1. 选择检验方法：由于样本标准差未知且不相等，但是样本容量较大，可以使用大样本 ( u ) 检验来比较两个独立样本的均值。

  2. 计算检验统计量：

Z=Xˉ2020−Xˉ2023S20202n2020+S20232n2023Z = \frac{\bar{X}_{2020} - \bar{X}_{2023}}{\sqrt{\frac{S_{2020}^2}{n_{2020}} + \frac{S_{2023}^2}{n_{2023}}}}

  1. 确定显著性水平，令 ( \alpha = 0.05 )。

  2. 比较 Z 值与临界值：如果计算出的 ( |Z| > z_{1 - \alpha} )（( z_{1 - \alpha} ) 是标准正态分布的分位数），则拒绝原假设；否则接受原假设。

(4)

  1. 设定原假设和备择假设：

H0:σ2020=σ2023,H1:σ2020≠σ2023H_0 : \sigma_{2020} = \sigma_{2023}, \quad H_1 : \sigma_{2020} \neq \sigma_{2023}

  1. 选择检验方法：由于样本量较大，可以使用两个正态总体方差比的 F 检验。

  2. 计算检验统计量：

F=s20202s20232F = \frac{s_{2020}^2}{s_{2023}^2}

  1. 确定显著性水平，令 ( \alpha = 0.05 )。

  2. 比较 F 值与临界值：自由度 ( df_{2020} = n_{2020} - 1 = 243 ) 和 ( df_{2023} = n_{2023} - 1 = 241 )，拒绝域为：

W={F≤Fα2(243,241) 或 F≥F1−α2(243,241)}W = \left\{ F \leq F_{\frac{\alpha}{2}}(243, 241) \text{ 或 } F \geq F_{1 - \frac{\alpha}{2}}(243, 241) \right\}

若 ( F ) 位于拒绝域中则拒绝原假设，认为存在显著差异；否则接受原假设。

2025微观部分解析

一、(15 分)小镇上有NN个居民，总财富为11，财富在NN个居民中平均分配。每个居民选择将自己的财富拿出yy进行私人消费，拿出xx用于环保支出。每个居民的效用函数是u=Xyu=\sqrt{Xy}，其中XX为小镇的环保总支出（所有居民的环保支出之和）。

  1. (7 分)小镇居民的环境总支出XX为多少？随着NN如何变化？
  2. (8 分)问题（1）的结果反应了什么经济学原理？
Solution：

(1) 最优问题的求解

考虑小镇上的居民 ii，其私人消费为 yiy_i，环保支出为 xix_i，i = 1, 2, …, N\text{i = 1, 2, …, N}。
为了使其效用最大化，居民的优化问题为：

{max ui=(∑i=1Nxi)yis.t. xi+yi=1N\begin{cases} \text{max } u_i = \sqrt{\left( \sum_{i=1}^N{x_i} \right) y_i} \\ \text{s.t. } x_i + y_i = \frac{1}{N} \end{cases}

通过构建拉格朗日函数，

L(xi,yi,λ)=(∑i=1Nxi)yi−λ(xi+yi−1N)L\left( x_i, y_i, \lambda \right) = \sqrt{\left( \sum_{i=1}^N{x_i} \right) y_i} - \lambda \left( x_i + y_i - \frac{1}{N} \right)

求其偏导数，令偏导数为 0：

{∂L∂xi=12yi(∑i=1Nxi)yi−λ=0∂L∂yi=12∑i=1Nxi(∑i=1Nxi)yi−λ=0∂L∂λ=−(xi+yi−1N)=0\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x_i} = \frac{1}{2} \frac{y_i}{\sqrt{\left( \sum_{i=1}^N{x_i} \right) y_i}} - \lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y_i} = \frac{1}{2} \frac{\sum_{i=1}^N{x_i}}{\sqrt{\left( \sum_{i=1}^N{x_i} \right) y_i}} - \lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = - \left( x_i + y_i - \frac{1}{N} \right) = 0 \end{cases}

通过求解方程组可得：

yi=∑i=1Nxi,xi+∑i=1Nxi=1N.\begin{aligned} & y_i = \sum_{i=1}^N{x_i}, \\ & x_i + \sum_{i=1}^N{x_i} = \frac{1}{N}. \end{aligned}

由于对称性，可得：

∑i=1N(xi+∑i=1Nxi)=1.\sum_{i=1}^N{\left( x_i + \sum_{i=1}^N{x_i} \right)} = 1.

最终解得 X=1N+1X = \frac{1}{N+1}，且 XX 随着 NN 增加而减少。

(2) 环保支出的经济学分析

  1. 正外部性与公共产品特性
    环保支出是一种正外部性的公共产品，具有非排他性，即一旦发生环保支出行为，很难排除其他人从环境改善中受益。这种特性导致搭便车现象广泛存在，仅依靠市场机制，环保支出的总额往往不足。

  2. 边际社会收益与私人决策
    环保支出的边际社会收益通常大于边际私人收益，因此市场机制下资源配置可能不是最优。居民在决策环保支出时，以自身效用函数最大化为目标，忽略了其行为对社会整体的正外部性影响，从而导致环保支出不足。

二、(20 分) 假设某商品的市场需求函数为P=4−QP=4-Q，其中PP为价格，QQ为总产量。市场中有三家供应企业，其中龙头企业的生产成本函数是x2x^2，两个中游企业的生产成本函数是2x22x^2。各家企业独自确定最大化自身利润的生产量。

  1. (10 分) 求均衡时的总产量。
  2. (10 分) 若两家中游企业需要获得政府牌照才能销售生产的商品。有50%的概率两个中游企业都能获得牌照；有另外50%的概率只有一个中游企业能够获得牌照，在这种情况下，具体哪家获得牌照的概率相等。企业需在获得牌照之前进行生产。求均衡时的总产量。
Solution：

(1) 均衡产量求解

记龙头企业的产量为 x1x_1，两个中游企业的产量分别为 x2,x3x_2, x_3，对应的利润分别为 π1,π2,π3\pi_1, \pi_2, \pi_3。

对于龙头企业，其利润为：

π1=(4−∑i=13xi)x1−x12\pi_1 = \left( 4 - \sum_{i=1}^3 x_i \right) x_1 - x_1^2

对 x1x_1 求导：

∂π1∂x1=4−3x1−∑i=13xi\frac{\partial \pi_1}{\partial x_1} = 4 - 3x_1 - \sum_{i=1}^3 x_i

类似地，对于中游企业，其利润为：

πi=(4−∑i=13xi)xi−2xi2,i=2,3\pi_i = \left( 4 - \sum_{i=1}^3 x_i \right) x_i - 2x_i^2, \quad \text{i=2,3}

对 xix_i 求导：

∂πi∂xi=4−5xi−∑i=13xi,i=2,3\frac{\partial \pi_i}{\partial x_i} = 4 - 5x_i - \sum_{i=1}^3 x_i, \quad \text{i=2,3}

为使利润最大化，令导数等于 0，联立方程组可得：

{x1=1013,x2=x3=613.\begin{cases} x_1 = \frac{10}{13}, \\ x_2 = x_3 = \frac{6}{13}. \end{cases}

均衡时，总产量为：

Q=∑i=13xi=2213.Q = \sum_{i=1}^3 x_i = \frac{22}{13}.

(2) 龙头企业和中游企业的利润分布：

龙头企业的利润分布

对于龙头企业，其利润分布为：

π1={(4−∑i=13xi)x1−x12,概率 0.5,(4−x1−x3)x1−x12,概率 0.25,(4−x1−x2)x1−x12,概率 0.25.\pi_1 = \begin{cases} \left( 4 - \sum_{i=1}^3 x_i \right) x_1 - x_1^2, & \text{概率 } 0.5, \\ \left( 4 - x_1 - x_3 \right) x_1 - x_1^2, & \text{概率 } 0.25, \\ \left( 4 - x_1 - x_2 \right) x_1 - x_1^2, & \text{概率 } 0.25. \end{cases}

因此，龙头企业的期望利润为：

Eπ1=(4−x1−0.75x2−0.75x3)x1−x12E\pi_1 = \left( 4 - x_1 - 0.75x_2 - 0.75x_3 \right) x_1 - x_1^2

对 x1x_1 求导：

∂Eπ1∂x1=4−4x1−0.75x2−0.75x3\frac{\partial E\pi_1}{\partial x_1} = 4 - 4x_1 - 0.75x_2 - 0.75x_3

中游企业 2 的利润分布

对于中游企业 2，其利润分布为：

π2={(4−∑i=13xi)x2−2x22,概率 0.5,(4−x1−x2)x2−2x22,概率 0.25,−2x22,概率 0.25.\pi_2 = \begin{cases} \left( 4 - \sum_{i=1}^3 x_i \right) x_2 - 2x_2^2, & \text{概率 } 0.5, \\ \left( 4 - x_1 - x_2 \right) x_2 - 2x_2^2, & \text{概率 } 0.25, \\ -2x_2^2, & \text{概率 } 0.25. \end{cases}

因此，中游企业 2 的期望利润为：

Eπ2=(3−0.75x1−0.75x2−0.5x3)x2−2x22E\pi_2 = \left( 3 - 0.75x_1 - 0.75x_2 - 0.5x_3 \right) x_2 - 2x_2^2

对 x2x_2 求导：

∂Eπ2∂x2=3−0.75x1−5.5x2−0.5x3\frac{\partial E\pi_2}{\partial x_2} = 3 - 0.75x_1 - 5.5x_2 - 0.5x_3

中游企业 3 的利润分布

由于对称性，中游企业 3 的导数为：

∂Eπ3∂x3=3−0.75x1−0.5x2−5.5x3\frac{\partial E\pi_3}{\partial x_3} = 3 - 0.75x_1 - 0.5x_2 - 5.5x_3

联立求解均衡解

令导数均为 0，联立方程组可得：

{x1=5261,x2=x3=2461.\begin{cases} x_1 = \frac{52}{61}, \\ x_2 = x_3 = \frac{24}{61}. \end{cases}

均衡时，总产量为：

Q=∑i=13xi=10061.Q = \sum_{i=1}^3 x_i = \frac{100}{61}.

三、(20 分) 股票市场上有两个股票投机者，他们将选择是否要卖空股票。如果投机者选择卖空股票，他需要支付成本c=2c=2，而获得的收益为v=1.5Nv=1.5N，NN为市场上卖空的人数；如果投机者选择不卖空的话，那么他的成本和收益均为0。

  1. (5 分)如果两个投机者同时采取纯策略选择是否卖空，请推导出可能的纳什均衡。
  2. (5 分)如果两个投机者同时采取相同的混合策略选择是否卖空，请推导出可能的纳什均衡。
  3. (10 分)请简要论述，有哪些政策措施可以阻止投机者卖空。
Solution：

(1) 纯策略纳什均衡

由题目可得收益矩阵如下：

投机者 2 卖空 投机者 2 不卖空
投机者 1 卖空 (1,1)(1, 1) (−0.5,0)(-0.5, 0)
投机者 1 不卖空 (0,−0.5)(0, -0.5) (0,0)(0, 0)

显然，当仅考虑纯策略时，以下两种策略组合达到了纳什均衡：

  • (卖空,卖空)(\text{卖空}, \text{卖空})
  • (不卖空,不卖空)(\text{不卖空}, \text{不卖空})

(2) 混合策略纳什均衡

在混合策略纳什均衡中，参与者以一定的概率分布在不同策略之间进行随机选择。在该均衡中，每个参与者的选择对其收益都是无差异的。

假设投机者 1 和投机者 2 的混合策略分别为 pp 和 qq，其中：

  • 投机者 1 选择 “卖空” 的概率为 pp，选择 “不卖空” 的概率为 1−p1-p；
  • 投机者 2 选择 “卖空” 的概率为 qq，选择 “不卖空” 的概率为 1−q1-q。

收益矩阵更新如下：

投机者 2 卖空 qq 投机者 2 不卖空 1−q1-q
投机者 1 卖空 pp (1,1)(1, 1) (−0.5,0)(-0.5, 0)
投机者 1 不卖空 1−p1-p (0,−0.5)(0, -0.5) (0,0)(0, 0)

对投机者 1 的期望收益分析

  • 选择 “卖空” 的期望收益为：

    q⋅1+(1−q)⋅(−0.5)=1.5q−0.5q \cdot 1 + (1-q) \cdot (-0.5) = 1.5q - 0.5

  • 选择 “不卖空” 的期望收益为00：

当 1.5q−0.5=01.5q - 0.5 = 0 时，投机者 1 的选择是无差异的，可解得：

q=13q = \frac{1}{3}

对投机者 2 的期望收益分析

由对称性可得，投机者 2 的混合策略概率为：

p=13p = \frac{1}{3}

因此，在混合策略纳什均衡中：

  • 投机者 1 和投机者 2 选择 “卖空” 的概率均为 13\frac{1}{3}；
  • 选择 “不卖空” 的概率均为 23\frac{2}{3}。

(3) 抑制卖空行为的措施

  1. 降低卖空收益：通过减少卖空交易的收益，甚至让卖空收益低于成本，从而使投机者无利可图，抑制卖空行为。

  2. 提高卖空成本：增加卖空的交易成本，使卖空的利润减少，从而降低投机者选择卖空的意愿。

  3. 对不卖空行为进行奖励：通过奖励不卖空行为，提高不卖空的收益，使得相对而言，卖空的收益降低，从而抑制卖空行为。

  4. 提高卖空门槛或限制卖空数量：通过提高准入门槛或限制卖空的最大数量，减少参与卖空的投机者数量，同时限制卖空收益，从而抑制卖空行为。

  5. 实施禁止卖空的法律法规：直接通过法律手段禁止卖空交易，从根本上遏制卖空行为。

四、(20 分) 作为一名风险产业的企业家，有一个投资项目需要向银行申请100万贷款进行投资。投资项目成功的概率为qq（qq的可能值为23\frac{2}{3}或12\frac{1}{2}）。项目成功的收益为300万，项目失败则收益为0。qq对于企业家来说是已知的，而对于银行来说是未知的，银行仅知晓有50%概率q=23q=\frac{2}{3}，另外50%概率q=12q=\frac{1}{2}。如果银行将100万的资金贷给企业，银行会要求偿还FF以维持收支平衡，（注：只有当项目成功时，才能偿还银行FF；如果项目失败，银行只能获得0，收支平衡是指企业给银行的预期总还款为100万）

  1. (7 分) 求维持银行收支平衡的FF的值。
  2. (7 分) 在（1）的基础上，假设企业家还可以选择投资另一个项目，该项目的收益是确定的，即假设投资100万后，未来的收益为220万。这意味着在获得100万的贷款后，企业家可以在两个项目中选择预期收益更大的项目进行投资，在这种情况下，求维持银行收支平衡的FF最小值。
  3. (6 分) 在（1）的基础上，企业家仅可以选择第一个投资项目进行投资，假设企业家可以选择将价值80万的资产抵押给银行，如果项目成功，则抵押资产归还企业；但如果项目失败，银行会将资产在市场上出售以弥补损失，由于流动性的原因，该抵押资产的出售价格只有50万。请问是否存在一个分离均衡，即当q=23q=\frac{2}{3}时，企业家会选择抵押资产；当q=12q=\frac{1}{2}时，企业家不会选择抵押资产？
Solution：

(1) 银行的期望收益为：

EΠ银=E[Π银∣q=23]P{q=23}+E[Π银∣q=12]P{q=12}E \varPi_\text{银} = E\left[ \varPi_\text{银} \mid q = \frac{2}{3} \right] P\left\{ q = \frac{2}{3} \right\} + E\left[ \varPi_\text{银} \mid q = \frac{1}{2} \right] P\left\{ q = \frac{1}{2} \right\}

其中：

E[Π银∣q=23]=23F,E[Π银∣q=12]=12FE\left[ \varPi_\text{银} \mid q = \frac{2}{3} \right] = \frac{2}{3}F, \quad E\left[ \varPi_\text{银} \mid q = \frac{1}{2} \right] = \frac{1}{2}F

代入得：

EΠ银=712FE \varPi_\text{银} = \frac{7}{12}F

为维持银行收支平衡，令 EΠ银=100E \varPi_\text{银} = 100，可得：

F=12007F = \frac{1200}{7}

(2) 企业家的选择

当企业家选择第二个投资项目时：

EΠ企=220−FE\varPi_\text{企} = 220 - F

当项目一的成功概率 q=23q = \frac{2}{3} 时：

EΠ企=23(300−F)E\varPi_\text{企} = \frac{2}{3} \left( 300 - F \right)

令两个项目的期望收益相等，可得：

F=60F = 60

因此：

  • 若 F<60F < 60，企业家选择项目二；
  • 若 F>60F > 60，企业家选择项目一。

当项目一的成功概率 q=12q = \frac{1}{2} 时：

EΠ企=12(300−F)E\varPi_\text{企} = \frac{1}{2} \left( 300 - F \right)

令两个项目的期望收益相等，可得：

F=140F = 140

因此：

  • 若 F<140F < 140，企业家选择项目二；
  • 若 F>140F > 140，企业家选择项目一。

结合以上情况：

  • 若 F<60F < 60，企业家只选择项目二；
  • 若 F>140F > 140，企业家只选择项目一；
  • 若 60<F<14060 < F < 140，企业家在 q=23q = \frac{2}{3} 时选择项目一，在 q=12q = \frac{1}{2} 时选择项目二。

进一步分析银行的收支平衡：

  • 若 F<60F < 60，则 Eπ银=FE\pi_\text{银} = F，为使银行收支平衡，F=100F = 100，与 F<60F < 60 不符，应舍去；
  • 若 F>140F > 140，则 Eπ银=712FE\pi_\text{银} = \frac{7}{12}F，为使银行收支平衡，可得 F=12007F = \frac{1200}{7}；
  • 若 60<F<14060 < F < 140，则：

    Eπ银=12E[π银∣q=23]+12F=56FE\pi_\text{银} = \frac{1}{2}E\left[ \pi_\text{银} \mid q = \frac{2}{3} \right] + \frac{1}{2}F = \frac{5}{6}F

    为使银行收支平衡，可得：

    F=120F = 120

因此，满足银行收支平衡的 FF 最小值为 120。

(3) 抵押与不抵押的分离均衡：

假设企业抵押资产贷款到期需支付 F1F_1，不抵押资产贷款到期需支付 F2F_2。

成功概率 q=23q = \frac{2}{3} 时：

  • 若企业选择抵押资产：

    Eπ企=23(300−F1)−13⋅80E\pi_\text{企} = \frac{2}{3} \left( 300 - F_1 \right) - \frac{1}{3} \cdot 80

  • 若企业不选择抵押资产：

    Eπ企=23(300−F2)E\pi_\text{企} = \frac{2}{3} \left( 300 - F_2 \right)

若企业选择抵押资产，则抵押资产的期望收益更高，联立可得：

F2−F1>40F_2 - F_1 > 40

成功概率 q=12q = \frac{1}{2} 时：

  • 若企业选择抵押资产：

    Eπ企=12(300−F1)−12⋅80E\pi_\text{企} = \frac{1}{2} \left( 300 - F_1 \right) - \frac{1}{2} \cdot 80

  • 若企业不选择抵押资产：

    Eπ企=12(300−F2)E\pi_\text{企} = \frac{1}{2} \left( 300 - F_2 \right)

若企业选择不抵押资产，则不抵押资产的期望收益更高，联立可得：

F2−F1<80F_2 - F_1 < 80

银行的收支平衡
银行的期望收益为：

Eπ银=E[π银∣q=23]P{q=23}+E[π银∣q=12]P{q=12}=(23F1+13⋅50)⋅12+(12F2)⋅12=100\begin{aligned} E \pi_\text{银} =& E\left[ \pi_\text{银} \mid q = \frac{2}{3} \right] P\left\{ q = \frac{2}{3} \right\} + E\left[ \pi_\text{银} \mid q = \frac{1}{2} \right] P\left\{ q = \frac{1}{2} \right\} \\ =& \left( \frac{2}{3}F_1 + \frac{1}{3} \cdot 50 \right) \cdot \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2}F_2 \right) \cdot \frac{1}{2} \\ =& 100 \end{aligned}

化简得：

13F1+14F2=2753\frac{1}{3}F_1 + \frac{1}{4}F_2 = \frac{275}{3}

联立方程组

{40<F2−F1<8013F1+14F2=2753\begin{cases} 40 < F_2 - F_1 < 80 \\ \frac{1}{3}F_1 + \frac{1}{4}F_2 = \frac{275}{3} \end{cases}

显然，对于 F1F_1 和 F2F_2 存在可行解域，因此分离均衡存在。