北京大学-431金融学综合-2025年

2025统计部分真题

一 、不定项选择题（多选，少选，错选均不得分)。（16分，每题4分）

  1. X1,…,Xn∼i.i.d.N(0,1)X_1, \ldots, X_n \overset{i.i.d.}{\sim} N(0,1)下列说法正确的是：(\quad)

    A. xˉ∼N(0,1n2)\bar{x}\sim N(0,\frac{1}{n^2})

    B. nxˉS∼t(n−1)\frac{\sqrt{n}\bar{x}}{S}\sim t(n-1)

    C. ∑i=1nXi2∼χ2(n)\sum_{i=1}^{n} {X_i}^2 \sim \chi^2(n)

    D. nxˉ∼N(0,n)n\bar{x} \sim N(0,n)

  2. X1,…,XnX_1, \ldots, X_n为总体分布的简单随机样本，下列是总体均值的无偏估计的有：（\quad）
    A. X1X_1
    B. Xˉ\bar{X}
    C. X1−X2+XnX_1-X_2+X_n
    D. 10X1−9Xn10X_1-9X_n

  3. X1,…,XnX_1, \ldots, X_n为F(X,θ)F(X,\theta)的简单随机样本，下列说法正确的是：(\quad)

    A. 似然函数是 θ\theta的函数

    B. 似然函数是X1,…,XnX_1, \ldots, X_n的函数

    C. g(θ)g(\theta)的极大似然估计是g(θ^)g(\hat{\theta}),其中θ^\hat{\theta}为θ\theta的极大似然估计

    D. 最⼤似然估计是似然函数的最⼤值

  4. 下列说法正确的是：(\quad)

    A. 样本量的增加可以提高检验的显著水平

    B. 经验分布函数是单调增函数

    C.样本容量越大，样本方差越小

    D.统计量是样本的函数

二、（10分）下列为来自取值为非负整数总体的简单随机样本，样本均值为1.45，样本方差为1.8.

取值 0 1 2 3 4 5
频数 250 200 180 100 50 20
频率 0.3125 0.25 0.225 0.125 0.0625 0.025

（1）求出上述样本的经验分布函数

（2）利用经验分布计算零点的取值概率；取值大于2且小于等于4的概率。

三、（10分）简述两类错误的含义，并说明在统计检验中如何处理这两类错误的？

四、（10分）设(X1,Y1),...(Xn,Yn){(X_1,Y_1),...(X_n,Y_n)}为一元线性回归模型Y=a+bX+ϵY=a+bX+\epsilon 的 nn 个观测样本，其中ϵ∼N(0,σ2)\epsilon \sim N(0,{\sigma}^2),记an^,bn^\hat{a_n},\hat{b_n}表示基于上述数据得到的a,ba,b的最小二乘估计值。

（1）若给定(X1,...,Xn){(X_1,...,X_n)}，给出∑i=1nYn\sum_{i=1}^{n}Y_n的分布

（2）Yk^=an^+bn^Xk\hat{Y_k}=\hat{a_n}+\hat{b_n}X_k,证明∑k=1nXk(Yk−Yk^)\sum_{k=1}^{n}X_k(Y_k-\hat{Y_k})=0,并说明其含义。

（3）证明an^,bn^\hat{a_n},\hat{b_n}分别为a,ba,b的无偏估计。

五、（15分）设总体为(a,b)(a,b)上的均匀分布，a<ba<b, 设(X1,Y1),...(Xn,Yn){(X_1,Y_1),...(X_n,Y_n)}为该总体的简单随机样本，a,ba,b为未知参数。

根据X(1),X(n)X_{(1)},X_{(n)}构建aa的无偏估计

（1）求a,ba,b的矩估计

（2）求a,ba,b的极大似然估计

（2）上面关于aa的两个估计量无偏估计吗？如果不是，请说明是否存在无偏估计。

六、（15分）根据沪深300指数在2020年和2023年的年化日指数收益率得到的信息如下：

企业的股票收益率 样本容量 均值 标准差 偏度
2020年 244 26.5%26.5\% 22.3%22.3\% -0.84
2023年 242 −11.2%-11.2\% 10.1%10.1\% 0.34

(1) （3分）简要说明这两年日指数收益率的分布差异。

(2) （4分）将这两年的样本合并，求合并后的均值、标准差。

(3) （4分）说明如何检验这两年的日指数收益率均值是否存在显著差异。

(4) （4分）说明如何检验这两年的日指数收益率的标准差是否存在显著差异。

2025微观部分真题

一、(15 分)小镇上有NN个居民，总财富为11，财富在NN个居民中平均分配。每个居民选择将自己的财富拿出yy进行私人消费，拿出xx用于环保支出。每个居民的效用函数是u=Xyu=\sqrt{Xy}，其中XX为小镇的环保总支出（所有居民的环保支出之和）。

  1. (7 分)小镇居民的环境总支出XX为多少？随着NN如何变化？
  2. (8 分)问题（1）的结果反应了什么经济学原理？

二、(20 分) 假设某商品的市场需求函数为P=4−QP=4-Q，其中PP为价格，QQ为总产量。市场中有三家供应企业，其中龙头企业的生产成本函数是x2x^2，两个中游企业的生产成本函数是2x22x^2。各家企业独自确定最大化自身利润的生产量。

  1. (10 分) 求均衡时的总产量。
  2. (10 分) 若两家中游企业需要获得政府牌照才能销售生产的商品。有50%的概率两个中游企业都能获得牌照；有另外50%的概率只有一个中游企业能够获得牌照，在这种情况下，具体哪家获得牌照的概率相等。企业需在获得牌照之前进行生产。求均衡时的总产量。

三、(20 分) 股票市场上有两个股票投机者，他们将选择是否要卖空股票。如果投机者选择卖空股票，他需要支付成本c=2c=2，而获得的收益为v=1.5Nv=1.5N，NN为市场上卖空的人数；如果投机者选择不卖空的话，那么他的成本和收益均为0。

  1. (5 分)如果两个投机者同时采取纯策略选择是否卖空，请推导出可能的纳什均衡。
  2. (5 分)如果两个投机者同时采取相同的混合策略选择是否卖空，请推导出可能的纳什均衡。
  3. (10 分)请简要论述，有哪些政策措施可以阻止投机者卖空。

四、(20 分) 作为一名风险产业的企业家，有一个投资项目需要向银行申请100万贷款进行投资。投资项目成功的概率为qq（qq的可能值为23\frac{2}{3}或12\frac{1}{2}）。项目成功的收益为300万，项目失败则收益为0。qq对于企业家来说是已知的，而对于银行来说是未知的，银行仅知晓有50%概率q=23q=\frac{2}{3}，另外50%概率q=12q=\frac{1}{2}。如果银行将100万的资金贷给企业，银行会要求偿还FF以维持收支平衡，（注：只有当项目成功时，才能偿还银行FF；如果项目失败，银行只能获得0，收支平衡是指企业给银行的预期总还款为100万）

  1. (7 分) 求维持银行收支平衡的FF的值。
  2. (7 分) 在（1）的基础上，假设企业家还可以选择投资另一个项目，该项目的收益是确定的，即假设投资100万后，未来的收益为220万。这意味着在获得100万的贷款后，企业家可以在两个项目中选择预期收益更大的项目进行投资，在这种情况下，求维持银行收支平衡的FF最小值。
  3. (6 分) 在（1）的基础上，企业家仅可以选择第一个投资项目进行投资，假设企业家可以选择将价值80万的资产抵押给银行，如果项目成功，则抵押资产归还企业；但如果项目失败，银行会将资产在市场上出售以弥补损失，由于流动性的原因，该抵押资产的出售价格只有50万。请问是否存在一个分离均衡，即当q=23q=\frac{2}{3}时，企业家会选择抵押资产；当q=12q=\frac{1}{2}时，企业家不会选择抵押资产？