上海交通大学-432统计学-2024年

一、选择题(1-15题每题2分, 16-25题每题3分, 共60分)

1. 从某车厂抽了20辆同一类型的车进行测是, 根据这20车的数据得出结论, 表明这类型车百公里油耗小于 $7.1$ L, 这句话是( $\quad$ )
   A. 对样本的描述
   B. 对样本的推断
   C. 对总体的描述
   D. 对总体的推断

1. 某大学的马克思学院的老师对大学生玩手机的时间比较感兴趣, 因此从马克思学院的大一、大二、大三、大四, 各抽了20个人( $\quad$ )
   A. 多阶段抽样
   B. 配额抽样
   C. 简单随机抽样
   D. 整群抽样

3. 为研究不同人的甘油三酯和血糖的关系, 应该用什么图表( $\quad$ )
   A. 条形图
   B. 对比条形图
   C. 散点图
   D. 饼图

4. 淘宝调查某产品评价, 有人恶意差评, 请问这是什么误差( $\quad$ )
   A. 随机误差
   B. 回答误差
   C. 无回答误差
   D. 抽样框误差

5. 一组数据的均值是 0.078, 标准差是 0.03, 下列哪一个是异常值( $\quad$ )
   A. 0.089
   B. 0.074
   C. 0.072
   D. 0.082

6. 现有某大学的学生分数, 分数均值是 78 , 中位数是 83 , 标准差是8, 则样本的分布是( $\quad$ )
   A. 左偏
   B. 右偏
   C. 对称
   D. 不确

7. 假设 $X$ 的分布列为 $\mathbb{P}(X=1)=0.2 , \mathbb{P}(X=0)=0.7$ , $\mathbb{P}(X=2)=0.1$ , 问 $X$ 的均值和方差, 以下错误的是( $\quad$ )
   A. 众数和中位数均为 0
   B. 期望为 0.4
   C. 方差为 0.44
   D. 标准差为 0.2

8. 总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ , 随机变量 $F=\frac{k (\bar{X}-\mu)^2}{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2}$ 是 $F$ 分布, 求 $k$ 的参数 $(\quad)$
   A. $n (n-1)$
   B. $\frac{n-1}{n}$
   C. 1
   D. $\frac{n}{n-1}$

9. 设 $X \sim N(0, 1)$, 求 $Y=X^4$ 的概率密度函数( $\quad$ )
   A. $\frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}} y^{-3 / 4} \exp \left(-\frac{y^{1 / 2}}{2}\right)$, $y>0$.
   B. $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} y^{-3 / 4} \exp \left(-\frac{y^{1 / 2}}{2}\right)$, $y>0$.
   C. $\frac{1}{4\sqrt{\pi}} y^{-3 / 4} \exp \left(-\frac{y^{1 / 2}}{2}\right)$, $y>0$.
   D. $\frac{1}{2\sqrt{\pi}} y^{-3 / 2} \exp \left(-\frac{y^{1 / 2}}{2}\right)$, $y>0$.

10. 下列四个说法中, 哪个说法是错误的( $\quad$ )
    A. 离散系数越小, 数据越分散
    B. 异众比率越小, 数据越集中
    C. 极差会受极端值影响
    D. 四分位差不是用于分类数据

11. 研究在雨天的路上和晴天的路上的刹车距离, 20辆车在两个路上进行测试, 测得雨天的刹车标准差是 45 , 晴天的是 25 , 假设刹车距离均为正态分布, 且雨天刹车距离的方差为 $\sigma_1^2$ , 晴天刹车距离的方差为 $\sigma_2^2$ , 检验问题:

$$H_0: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \leq 1 \leftrightarrow H_1: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}>1$$

则 $(\quad)$ (分位数: $F_{0.05}(19, 19)=2.17$ )
A. 拒绝原假设
B. 不拒绝原假设
C. 拒绝不拒绝都可以
D. 无法确定

12. 假设随机变量 $X \sim N(0, 36) , Y \sim N(1, 25) , \rho(X, Y)=0.8$ , 求 $\operatorname{Var}(2 X-Y)$=( $\quad$ ).
    A. 73
    B. 144
    C. 25
    D. 169

13. 假设总体正态, 样本量是 16 , 样本均值是 7.3 , 样本方差是 0.64 , 想要研究均值是否显著小于7.5, 下列正确的是( $\quad$ )
    A. 原假设是大于等于7.5, 检验统计量的形式是 $4 \frac{\bar{x}-7.5}{s}$
    B. 原假设是小于等于 7.5 , 检验统计量的形式是 $4 \frac{\bar{x}-7.5}{s}$
    C. 原假设是小于等于 7.5 , 检验统计量的形式是 $\frac{\bar{x}-7.5}{0.8}$
    D. 原假设是大于等于 7.5 , 检验统计量的形式是 $\frac{\bar{x}-7.5}{0.2}$

14. 假设总体 $X$ , 样本均值和样本方差分别为 $\bar{X}$ 和 $S^2$ , 下列正确的是( $\quad$ )
    A. $S$ 是 $\sigma$ 的无偏估计
    B. $S$ 是 $\sigma$ 的极大似然估计
    C. $S$ 是 $\sigma$ 的一致估计
    D. $S$ 与 $\sigma$ 独立

15. 假设 $X \sim N(0, 1)$, 常数 $x<0$ , 求 $\mathbb{P}(x<X \mid X \leq 0)=(\quad)$
    A. $2\Phi \left( -x \right) -1$
    B. $\Phi \left( -x \right) -1$
    C. $\Phi \left( -x \right) -1/2$
    D. $2\Phi \left( -x \right) -1/2$

16. 泊松分布 $\mathcal{P}$ 的C-R下界是多少? ( $\quad$ )
    A. $\frac{n}{\lambda}$
    B. $\frac{1}{n \lambda}$
    C. $\frac{\lambda}{n}$
    D. $\frac{1}{n \lambda^2}$

17. 总体 $X \sim N\left(\mu, \frac{1}{4}\right)$ , 要求满足 $\mathbb{P}(|\bar{X}-\mu|<0.1) \geq 0.95$ 的最小样本量( $\quad$ ) (分位数: $z_{0.95}=1.64, z_{0.975}=1.96$ )
    A. 68
    B. 67
    C. 97
    D. 96

18. (暂无题目, 有回忆者可以联系大师兄)

19. (暂无题目, 有回忆者可以联系大师兄)

20. 进行满意度调查, 结果如下:

    性别/满意度	满意	一般	行和
    男生	180	120	$\mathbf{3 0 0}$
    女生	130	70	$\mathbf{2 0 0}$
    列和	310	190	$\mathbf{5 0 0}$

    求男生女生满意的行百分比( $\quad$ )
    A. $60 \%$, $65 \%$
    B. $33.3 \%$, $30 \%$
    C. $58 \%$, $42 \%$
    D. $62.07 \%$, $37.93 \%$

21. 关于列联表, 下列说法正确的是( $\quad$ )
    A. $\varphi$ 相关系数适用于所有的列联表
    B. $\varphi$ 相关系数是 $V$ 相关系数的特殊情况
    C. $c$ 相关系数取值在 $[0, 1]$ 的所有值
    D. $\varphi$ 相关系数取值在 $[0, 1]$ 的所有值

22. 调整后的多重判定系数为 $0.7$, $n=10$, $k=3$, 则 $R^2$=( $\quad$ ).
    A. 0.85
    B. 0.75
    C. 0.25
    D. 0.8

23. 样本量 $n=36$, 回归方程 $y=\beta_0+\beta_{1} x_1+\beta_2 x_{2}+\beta_3 x_{ 3}+\beta_4 x_4$, 得到估计的回归方程:
    $\hat{y}=6.8+\hat{\beta}_1 x_1+1.2 x_2+\hat{\beta}_3 x_3$, 且 $\hat{\beta}_2$ 的标准误是 $0.3$, $t_{0.025}(32)=2.036933$ , 则 $(\quad)$
    A. 线性关系显著
    B. 无多重共线性
    C. $X_2$ 对 $Y$ 显著
    D. $X_1$ 对 $Y$ 显著

24. 某品牌手机销售量是先增长缓慢, 再突然暴增, 再增长缓慢至饱和, 请问用什么曲线进行拟合?( $\quad$ )
    A. 指数曲线
    B. 修正过后的指数曲线
    C. 三次曲线
    D. 逻辑斯蒂曲线

25. 季节指数, $1.1 , 0.8 , 0.9 , 1.2$ , 预测方程 $Y_t=6000+200 t$, 2023年第三季度的值是 9000, 求2024年第一季度的预测值是( $\quad$ )
    A. 11440
    B. 7000
    C. 10340
    D. 9400
    
    

二、简答题(每题10分, 共40分)

1. 序列 $Y_1, \ldots, Y_n$ 预测: 什么是指数平滑? 什么是二次指数平滑? 结合指数平滑和二次指数平滑, 以序列举例进行预测.

2. 为了研究户型、房价指数、房东收入对二手房价的影响, 其中如果户型是三室两厅记作 $1$, 两室两厅记作 $0$, 请你建立线性回归方程并检验模型是否显著.

3. 设有总体指数分布 $X\sim f(x;\theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}$ 的三个样本 $X_1,X_2,X_3$, 找出 $\alpha$ 使 $\alpha X_{(1)} + \left(1-\alpha\right) X_{(3)}$ 是 $\theta$ 的无偏估计.

4. 似然比检验，假设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 给出检验问题:

$$H_0: \mu=\mu_0 \quad \mathrm{vs} \quad H_1: \mu \neq \mu_0$$

的似然比检验.

三、计算题(前2题每题15分, 第3题20分, 共50分)

1. 设 $\left( \begin{array}{c} X\\ Y\\ \end{array} \right) \sim N\left( \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array} \right) ,\left( \begin{matrix} 1& \rho\\ \rho& 4\\ \end{matrix} \right) \right)$, $\rho \in (-2,2)$, 求 $P(X \ge 0, Y \ge 0)$.

2. 设有来自 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本 $X_1, \cdots, X_n$, 记 $\hat{\sigma}=\sum_{i=1}^n w_i\left|X_i\right|$, 求最优权重 $w_i$ 使得 $\hat{\sigma}$ 是无偏估计且的方差最小.

3. 有来自总体 $U(0,\theta)$ 的简单随机样本 $X_1,\cdots,X_n$. 其次序统计量是 $X_{(1)}\le \cdots \le X_{(n)}$.
   (1) 求 $X_{(k)}$ 的概率密度, 期望、方差.
   (2) 证明 $n\left(1-\frac{X_{(n)}}{\theta}\right)$ 按分布收敛于 Exp$(1)$.
   (3) 求 $\theta$ 的 $95 \%$ 的渐近置信区间. (用渐近分布)
   (4) 给出 $H_0: \theta \le 1 \quad \mathrm{vs} \quad H_1: \theta >1$ 的渐近拒绝域.