中国科学技术大学-432统计学-2024年

一、填空题

$F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 均为分布函数, 则当 $a=\underline{\qquad}, b =\underline{\qquad}$ 时, $aF_1(x)-bF_2(x)$ 也为分布函数.
$X\sim N(0,1)$ , 若 $P(X>x_{\alpha})=\alpha$ , 则当 $P(|X|<x)=\alpha$ , $x=\underline{\qquad}$ .
$X_1,\cdots,X_n \overset{i.i.d.}{\sim} P(\lambda)$ , 则 $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 的分布为 $\underline{\qquad}$ .
$X\sim N(0,1), Y\sim b(n,p)$ , 已知 $X,Y$ 独立, 则 $X$ 与 $X^3Y$ 的协方差为 $\underline{\qquad}$ .
现共有一万人投保, 保费总共为200万. 已知一年内有一人去世则需要赔偿1万元, 且每个人的去世概率为1.5%, 求
(1)亏钱的概率为 $\underline{\qquad}$ . (2)盈利10万到20万的概率为 $\underline{\qquad}$ . (用标准正态分布函数 $\Phi$ 表示)
$X_1,X_2,X_3,X_4$ 独立同服从于 $N(0,3)$ , 若 $a(X_1-4X_2)^2+b(2X_3-3X_4)^2$ 服从卡方分布, 则卡方分布的自由度为 $\underline{\qquad}$ , $a+b=\underline{\qquad}$ .
$X_1,\cdots,X_n \overset{i.i.d.}{\sim} P(\lambda)$ , 则 $\lambda^2$ 的一个无偏估计为 $\underline{\qquad}$ .
一批零件长度服从正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ , $\mu,\sigma$ 未知. 现在抽取9个样本，均值和方差分别为40和1. 已知 $\mu$ 的90%置信区间为 $[40-a\cdot t_{0.05}(n),40+a\cdot t_{0.05}(n)]$ , 其中 $t_{0.05}(n)$ 表示自由度为 $n$ 的 $t$ 分布的上0.05分位数, 则 $a=\underline{\qquad}, n =\underline{\qquad}$ .
$X_1,\cdots,X_n \overset{i.i.d.}{\sim} Exp(\lambda)$ , 对检验问题 $H_0:\lambda=\lambda_0\ \text{v.s.} \ H_1:\lambda<\lambda_0$ , 其显著性水平为 $\alpha$ 的拒绝域为 $\underline{\qquad}$ .
(暂无题目, 有回忆者可以联系大师兄)

二、计算与分析题

放开管控前, 检测呈阳性的人中大多有发烧症状，而放开管控后检测呈阳性的人中大多无发烧症状. 已知管控前检测呈阳性且有发烧症状的概率为万分之一, 管控后检测呈阳性且有发烧症状的概率为百分之一. 试解释上述情况.
已知 $P(X= 0)=\theta/4, P(X= 1)=1-\theta, P(X=2)=3\theta/4$ .
(1) 求 $\theta$ 的矩估计 $\hat{\theta}_M$ 和MLE $\hat{\theta}_{MLE}$ .
(2) 请问以上估计是无偏估计吗? 如果是的话, 请说明理由; 如果不是的话, 请说明理由并修正.
(3) 请问修正之后哪个估计更加有效.
经调查, 健康成年男子脉搏服从正态分布 $N\left(72, 11^2\right)$ , 现测得16位成年男子慢性铅中毒患者脉搏平均为 67 , 标准差为 7. 请问在 0.05 置信水平下与正常男子脉搏是否有差异(对均值和方差进行检验). 已知 $t_{0.025}(15)=2.131,t_{0.05}(16)=1.753, \chi^2_{0.975}(15)=6.262,\chi^2_{0.025}(15)=27.488$ .
4行3列的列联表齐一性检验.
$\{X_i\}_{i=1}^n$ 为 $\mu$ 的测量值, 测量的方差为 $\sigma^2$ .
(1) 建立关于 $\mu$ 的线性回归模型;
(2) 求 $\mu$ 的估计 $\hat{\mu}$ , $\hat{\mu}$ 有什么样的优良性质;
(3) 若随机误差服从 $N(0,\sigma^2)$ , 求 $\mu$ 的置信水平 $1-\alpha$ 的置信区间.