中国科学技术大学-812概率论与数理统计-2024年

一、(20分) 独立地多次抛掷一枚硬币，每次正面朝上的概率为 pp, 当出现连续2次正面朝上的情况时停止抛掷. 记 nn 为正整数，求抛掷过程中正面朝上的次数大于 nn 的概率.

二、(15分) 设 X,YX,Y 是独立同分布的随机变量，且 XX 的密度函数为

f(x)={12πx3e−12x,x>0,0,x≤0.f(x)=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2\pi x^3}}e^{-\frac{1}{2x}}, & x>0,\\ 0, & x\leq 0. \end{cases}

求 X−4+Y−4X^{-4}+Y^{-4} 的分布.

三、(20分) 设 XX 是标准正态随机变量, 对 t∈Rt\in \mathbb{R}, 定义 g(x)=etxg(x)=e^{tx}.
(1)(10分) 计算 E(g(X))E(g(X)).
(2)(10分) 证明 E(Xg(X))=E(g′(X))E(Xg(X))=E(g^{'}(X)).

四、(21分) 设 {Xnk,n=1,2,⋯ ,k=1,2,⋯ ,n}\{X_{nk}, n=1,2,\cdots, k = 1,2,\cdots, n\} 是一族随机变量. 当 n<kn<k 时， 定义 Xnk=0X_{nk}=0. 假设对于任意固定的 k≥1k\geq 1， Xnk→p0 (n→∞)X_{nk}\overset{p}{\to}0\ (n\to\infty).
(1)(7分) 对于固定的 m≥1m\geq 1, 证明 ∑k=1mXnk→p0\sum_{k=1}^m X_{nk}\overset{p}{\to}0.
(2)(7分) 举例说明 ∑k=1mXnk→p0\sum_{k=1}^m X_{nk}\overset{p}{\to}0 不一定成立.
(3)(7分) 进一步假设 lim sup⁡m→∞lim sup⁡n→∞∑k=m+1nE∣Xnk∣=0\limsup\limits_{m\to \infty}\limsup\limits_{n\to \infty} \sum_{k=m+1}^n E|X_{nk}|=0, 证明 lim⁡m→∞∑k=1mXnk→p0\lim\limits_{m\to \infty}\sum_{k=1}^m X_{nk}\overset{p}{\to}0.

五、(24分) X1,⋯ ,XnX_1,\cdots, X_n 是来自均匀分布 U(0,θ)U(0,\theta) 的简单随机样本.
(1)(12分) 基于 θ\theta 的矩估计, 利用中心极限定理构造 θ\theta 的 1−α1-\alpha 的大样本置信区间.
(2)(12分) 基于 θ\theta 的极大似然估计构造 θ\theta 的 1−α1-\alpha 的置信区间.

六、(25分) 设 (Xi,Yi)T,i=1,2,⋯ ,n(X_i, Y_i)^T, i=1,2,\cdots, n 是二维正态分布 N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho) 的简单随机样本. 其密度函数为

f(x,y)=12πσ1σ21−ρ2exp⁡{−12(1−ρ2)[(x−μ1)2σ12−2ρ(x−μ1)(y−μ2)σ1σ2+(y−μ2)2σ22]},f(x,y) =\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right]\right\},

其中 μ1,μ2,σ1,σ2,ρ\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho 为参数.
(1)(10分) 检验问题 H0:μ1=μ2↔H1:μ1≠μ2H_0: \mu_1 = \mu_2 \leftrightarrow H_1: \mu_1 \not = \mu_2. 写出检验统计量和水平为 α\alpha 下的拒绝域.
(2)(15分) 若 μ1=μ2=μ,σ12=σ22=σ2\mu_1=\mu_2=\mu, \sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2, 求 μ,σ2,ρ\mu,\sigma^2,\rho 的极大似然估计. (要求写出详细的推导过程)

七、(25分) 已知二元线性回归模型 yi=αxi+βzi+ϵiy_i = \alpha x_i+\beta z_i + \epsilon_i, 其中 ϵi,i=1,2,⋯ ,n\epsilon_i, i =1,2,\cdots, n 独立同服于 N(0,σ2)N(0,\sigma^2). x=(x1,⋯ ,xn)T,z=(z1,⋯ ,zn)Tx=(x_1,\cdots, x_n)^T, z=(z_1,\cdots,z_n)^T 是自变量, y=(y1,⋯ ,yn)Ty=(y_1,\cdots, y_n)^T 是因变量. 即 X=(x,z)n×2X=(x,z)_{n\times 2}, InI_n 为 nn 阶单位阵, 假设 XTXX^TX 可逆.
(1)(10分) 证明 (α,β)T(\alpha, \beta)^T 的极大似然估计和最小二乘估计都是 (α^,β^)T=(XTX)−1XTy(\hat{\alpha},\hat{\beta})^T=(X^{T}X)^{-1}X^Ty.
(2)(15分) 记 Px=x(xTx)−1xT,β~=(zT(In−Px)z)−1zT(In−Px)yP_x = x(x^{T}x)^{-1}x^T, \tilde{\beta}=(z^T(I_n-P_x)z)^{-1}z^T(I_n-P_x)y, 说明 β~=β^\tilde{\beta} = \hat{\beta}, 并求 β~\tilde{\beta} 的分布.