南开大学-432统计学-2024年

一、(10分) $X_1,X_2$ 独立同服从 $N(0,\sigma^2)$, 求 $\left( \frac{X_1+X_2}{X_1-X_2} \right)^2$ 的分布.

二、(15分) 甲乙打飞机, 甲命中率 0.9, 乙命中率 0.8. 飞机被命中一次则有 70% 概率被击落, 被命中两次则一定被击落.

(1) (3分) 求飞机被击落概率.

(2) (4分) 若已知飞机被击落, 求它是被一发炮弹击落的概率.

(3) (4分) 若已知飞机被击中, 求它被击落的概率.

(4) (4分) 若已知飞机被击中, 求它被甲中的概率.

三、(15分) 设 $F(x) = P(\xi < x)$, 其中 $\xi$ 是随机变量. 证明:

(1) (5分) $F(x)$ 不减;

(2) (5分) $F(x)$ 左连续;

(3) (5分) $F(-\infty)=0$, $F(+\infty)=1$.

四、(15分) 第一条路到火车站的时间是 $N(40,10^2)$, 第二条路到火车站的时间是 $N(50,4^2)$.

(1) (7分) 距离火车出发还有 60 分钟, 走哪条路赶上的概率大?

(2) (8分) 距离火车出发还有 45 分钟, 走哪条路赶上的概率大?

五、(15分) 设 $X_1,\cdots,X_m$ 来自总体 $N(\mu_1,\sigma^2)$, $Y_1,\cdots,Y_n$ 来自总体 $N(\mu_2,\sigma^2)$.

(1) (7分) 求 $(\mu_1,\mu_2,\sigma^2)$ 的 MLE;

(2) (8分) 判断上述估计是否无偏.

六、(15分) 甲和乙独立地找书中错字, 甲找了120个, 乙找了124个, 重复的有80个, 试用矩法估计求:

(1) (7分) 错字总数;

(2) (8分) 未被找到的错字数.

七、(15分) 考虑回归模型: $Y=0.5+\beta X^2 +\varepsilon$.

(1) (3分) 给出 Gauss-Markov 条件.

(2) (12分) 已知数据 $(x_1,y_1), \cdots, (x_n,y_n)$, 请给出 $\beta$ 的 lse (最小二乘估计), 并证明其是 lse.

八、(15 分) 已知样本 $Y_1,\cdots,Y_n$, 且 $E(Y)=\mu$, $Var(Y)=\sigma^2$, 定义 $Q(\mu) = \sum_{i=1}^n (Y_i - \mu)^2 + \alpha \mu^2$.

(1) (5分) 请最小化 $Q\left(\mu\right)$ 得到 $\widehat{\mu}$.

(2) (10分) 证明: 若 $\alpha >0$, (1) 中的估计量有偏. 在此条件下, 试找到 $\alpha$ 使得 mse$(\widehat{\mu})<$mse$(\bar{Y})$?

九、(15分)有来自总体 $U(0,\theta)$ 的随机样本 $X_1,\cdots,X_n$.

(1) (8分) 证明 $\widehat{\theta}_1=\frac{n+1}{n}X_{(n)}$ 和 $\widehat{\theta}_2=(n+1)X_{(1)}$ 无偏.

(2) (7分) 请比较他们的方差.

十、(20分) 有来自总体 $N(\mu,1)$ 的随机样本 $X_1,\cdots,X_n$. 考虑假设检验

$H_0: \mu = 2 \quad \mathrm{vs} \quad H_1: \mu =3.$

拒绝域是 $W= \{\bar{x}\ge 2.6\}$.

(1) (7分) 设 $n=20$, 求 $\alpha,\beta$ (两类错误).

(2) (7分) 若要求 $\beta \le 0.01$, 求 $n$ 的最小值.

(3) (6分) $n \to \infty$ 时, 证明两类错误均收敛于 0.