清华大学-432统计学-2024年

一、 (20分) 设 $X_1,X_2,X_3,X_4$ 独立同分布于 $N(0,\sigma^2)$, 求 $Y=\frac{X_1^2+X_2^2}{X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2}$ 的分布.

二、(1)(10分) 叙述依分布收敛的定义.

(2)(10分) 设 $X_n \sim \chi^2(n)$, 令 $Z_n = \frac{X_n-n}{\sqrt{2n}}$. $\{Z_n\}_{n\geq 1}$ 是否依分布收敛, 请说明理由.

三、(60分) $X_1,\cdots, X_m \overset{i.i.d.}{\sim} U(0,\theta_x), Y_1,\cdots, _n \overset{i.i.d.}{\sim} U(0,\theta_y)$, 两者相互独立.

(1)(10分) 求 $(\theta_x, \theta_y)$ 的充分统计量;

(2)(20分) 基于(1)的统计量给出 $\theta = \theta_x/\theta_y$ 的无偏估计;

(3)(30分) 求 $\theta = \theta_x/\theta_y$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间.

四、(20分) 现有甲乙两种药品, $A$ 组共 $M(M\geq 100)$ 人, 对 $A$ 组内所有人使用甲药后发现有 $m$ 人有副作用; $B$ 组共 $N(N\geq 100)$ 人, 对 $B$ 组内所有人使用乙药后发现有 $n$ 人有副作用. 请说明甲乙两药的效果是否有显著差异.

五、(30分) 设 $X_1,\cdots, X_n\overset{i.i.d.}{\sim} Ga(\alpha,\beta)$, 其中 $\alpha$ 已知.

(1)(10分) 求 $\beta, \frac{1}{\beta}$ 的MLE;

(2)(20分) 说明 $\beta, \frac{1}{\beta}$ 的MLE是否达到C-R下界.