北京大学数院-431金融学综合-2024年

概率论部分:

一、(10分) 现有一副52张牌, 4个花色的扑克. 不断进行独立有放回的抽取, 抽到每种花色的概率是1/4.
(1)(4分) 求第一次抽到红桃的次数分布 ;
(2)(6分) 求首次摸齐4个花色的期望和方差.

二、(10分) $P(X=i,Y=j)=C_j^i\frac{\lambda^j}{j!}e^{-2\lambda}$ , $0\leq i \leq j$ .
(1)(4分) 求 $Y$ 的分布;
(2)(3分) 求 $X$ 的分布;
(3)(3分) 求 $Y-X$ 的分布.

三、(10分) 设 $X=(X_1,\cdots,X_n)^T$ 是随机向量, $E(X)=0$ , $Cov(X)=(\sigma_{ij})_{n\times n}$, 其中 $\sigma_{ii}>0, i =1,2,\cdots,n$ . 证明: 若 $|\Sigma|=0$, 则存在指标$k\in \{1,2,\cdots,n\}$ 以及 $\{a_i, i\neq k,1\leq i\leq n\}$, 使得$X_k=\sum_{i\neq k} a_i X_i$ 几乎处处成立.

四、(10分) 设 $Y = X_1 + \cdots+ X_N$ , 各个 $X_i$ 之间独立同分布, 且$X_i$和$N$也独立, $N$的取值为非负整数. 若$X_1$和$N$二阶矩存在, 试用$X_1$和$N$的期望与方差来表示出 $Y$ 的期望和方差.

五、(10分)设 $Z_1,\cdots,Z_n$独立同分布$g(z)$, $g(z)$为密度函数, $X$的密度函数为$f(x)$, $EX= \mu$.
(1)(5分) 若$Y_i=\frac{f(Z_i)}{g(Z_i)}Z_i,i=1,2,\ldots,n$, 令$\hat{\theta}_n=\bar{Y}$, 求证: $\hat{\theta}_n\overset{a.s.}{\to}\mu$.
(2)(5分) 若$Var(Y_1)=1$, 求$\hat{\theta}_n$的渐进分布. 并对于$\epsilon=0.01, \alpha=0.05$, 求最小的$n$, 使得$P(|\hat{\theta}_n-\mu|<\epsilon)\geq 1-\alpha$成立.

数理统计部分:

六、(15分) 设 $X_1,\cdots,X_n$ 独立同分布于$U(a,b)$, 其中$a,b$未知,$D= \{(a,b)|a\geq 0,b\leq 4, a\leq b-2\}$.
(1)(5分) 求 $a,b$ 的矩估计;
(2)(5分) 求 $a,b$ 的MLE;
(3)(5分) 若$(a,b)$的先验分布为$D$上的均匀分布，求$(a,b)$的后验最大概率估计.

七、(15分) 设 $X_1,\cdots,X_n$独立同分布于期望是$\theta=1/\lambda$ 的指数分布 $Exp(\lambda)$.
(1)(5分) 请验证 $\bar{X}$是否为$\theta$的UMVUE;
(2)(5分) 求Fisher信息量 $I(\lambda)$;
(3)(5分) 请比较 $\theta$ 无偏估计的方差的C-R下界和 $\bar{X}$ 方差的大小关系.

八、(10分) 设 $(X_i,Y_i)^T\overset{i.i.d.}{\sim} N_2(\mu,\Sigma), i=1,2,\ldots,n$, 其中$\mu=(\mu_1,\mu_2)^T,\Sigma=\begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \rho\sigma_1\sigma_2\\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{pmatrix}$.
(1)(5分) 考虑检验问题 $H_0: \rho=0$, 请给出其似然比检验并指出检验统计量 $T$;
(2)(5分) 请基于上一问中的检验统计量 $T$, 构造出水平为 $\alpha$ 的拒绝域.

九、(10分) 考虑多元回归模型 $Z=Y\beta +e$, 其中 $Y=(Y_1^T,Y_2^T, \cdots, Y_n^T)^T,Y_i\in \mathbb{R}^d, i=1,2,\ldots,n$. 此外 $E(e)=0, Var(e)=\sigma^2 I_n$, 并且 $Y$ 已知且列满秩. 若 $\hat{\beta}$是$\beta$ 的最小二乘估计.
(1)(6分) 请证明 $Var(\hat{\beta})=\sigma^2(Y^TY)^{-1}$;
(2)(4分) 请证明残差平方和 $Q(\hat{\beta})$的期望为$(n-d)\sigma^2$.

金融数学引论部分:

一、(10分) 求实际年利率并排大小:

(1) 半年名利率百分之二; (2) 季度名贴现率百分之二; (3) 利息力为常数百分之二; (4) 半年期债券, 价格99, 兑现值100.

二、(15分) 某人借款100万元, 每月偿还, 实利率 0.45 %.

(1) 按25年期偿还, 求每次还款额.

(2) 已经还了 60 次, 重现协商利率为 0.35%, 将剩余余额作为一个新的 15年期贷款, 求每月还款额.

(3) 设他还想重新贷款一个新的15年贷款, 利率还是0.35%. 但目前有新规出台, 每个人的月贷款不能超过工资的 50%, 它的工资是 20000元, 问他还能贷款多少?

三、(10分) 现有 10 万元投资国债, 半年名息率 5%, 兑现值 10 万元, 半年将票息存入银行, 定期半年名利率 2%, 同时后续每半年将此前的银行半年期本息取出和新票息一起继续再次存入, 求累计值和实际年利率.

四、(15分) 有两个债券, 分别是 3 年期 和 5年期, 前者年息率是 2%, 后者是 4%, 市场利率 3%, 面值与兑现值均为 100.

(1) 求债券价格和久期.

(2) 两个债券按比例组合后久期是 3年, 求组合比例.