复旦大学-432统计学-2024年

一、(10分) 8 部车随机地停在一列12个位置的停车场内, 求 4 个空位恰好连在一起的概率.

二、(10分) 将 $n$ 个球随机地放进 $n$ 个盒子中, 记空盒个数为 $X$, 求 $X$ 的期望与方差.

三、(10分) 设区域 $D$ 是 $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$ 围成的三角形区域, $(X,Y)$ 服从 $D$ 上的均匀分布, 求 $\rho(X,Y)$.

四、(10分) 设 $X_1,X_2$ 独立同服从 $N(\mu,\sigma^2)$, 证明: $E\max\{X_1,X_2\} = \mu + \frac{\sigma}{\sqrt{\pi}}$.

五、(10分) 证明: $E(|X|)$ 存在与 $\sum_{k=0}^{\infty} P(|X|>k)$ 等价.

六、(10分) $X,Y$ 独立同服从标准柯西分布, 密度函数是 $f(x) =\frac{1}{\pi(1+x^2)}$, 证明: $\frac{X+Y}{2}$ 也服从柯西分布.

七、(20分) (Borel-Cantelli引理) 对于事件序列 $A_n$, 记 $A=\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=k}^{\infty}A_n$.

(1)(10分) 若 $\sum P(A_n) <\infty$, 则 $P(A)=0$.

(2)(10分) 若 $A_n$ 是独立序列, 则 $P(A)=1$ 等价于 $\sum P(A_n) =\infty$.

八、(20分) 设独立序列满足 $P(\xi_n = \pm n^{\delta}) = \frac{1}{2}$.

(1)(10分) 给出 $\{\xi_n\}$ 服从大数定律的充要条件, 即给出 $\delta$ 的范围.

(2)(10分) 详细证明第 (1) 问的结论.

九、(10分) 设有来自 $U(-\theta,\theta)$ 的简单随机样本 $X_1,\cdots,X_n$, 其中 $\theta>0$.

(1) 证明: $\max \{|X_1|,\cdots,|X_n|\}$ 是 $\theta$ 的充分统计量.

(2) 求 $\theta$ 的 MLE.

十、(10分) 设有来自 $\mathcal{P}(\sqrt{\lambda})$ 的简单随机样本 $X_1,\cdots,X_n$, 其中 $\lambda>0$.

(1) 求 $\lambda$ 的 MLE.

(2) 判断 (1) 中的估计量是否无偏.

十一、(15分) 设有来自 $U(\theta,\theta+1)$ 的简单随机样本 $X_1,\cdots,X_n$, 考虑假设检验问题:

$H_0: \theta = 0 \quad H_1: \theta>0,$

定义拒绝域 $W=\left\{X_{(1)}>k\right\} \cup \left\{X_{(n)}>1\right\}$, 要使犯第一类错误对概率不足 0.05, 求 $k$ 至少为多少?

十二、(15分) 设有来自 $U(0,\theta)$ 的简单随机样本 $X_1,\cdots,X_n$, 其中参数 $\theta$ 的先验分布是 $\pi \left(\theta\right) = \frac{2}{\theta^3}$, $\theta>1$. 现有 4 个观测值: 0.1, 1.2, 1.5, 0.9, 求参数的后验分布.