北京大学-431金融学综合-2024年

2024统计部分真题

一、(20分) 某研究员想要了解某种特定培训对金融分析师预测精度的影响。选取了10位金融分析师，在接受特定培训前后，分别记录他们对某股票未来价格的预测误差。以下是这10位分析师在接受培训前后对同一股票价格预测的平均误差（单位：美元）：

分析师编号 培训前误差 培训后误差
1 2.5 2.0
2 3.0 2.7
3 1.8 1.5
4 2.0 1.6
5 2.3 2.1
6 1.5 1.2
7 2.2 2.0
8 2.8 2.4
9 1.7 1.3
10 2.6 2.2

Remark: 原题是关于睡眠质量的问题, 这里是我们生成的数据.

请检验这种培训是否对金融分析师的预测误差有显著影响, 其中显著性水平为 0.05.

二、(20分) 设 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n 是来自 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2) 的独立样本, 且 μ,σ2\mu,\sigma^2 未知, 已知有P(X>a)=0.05P(X>a)=0.05, 求 aa 的 MLE.

三、(15分) 设 X,YX,Y 独立服从 N(0,1)N(0,1), 求 Emax⁡{X,Y}E\max\{X,Y\}.

四、(15分) 利用统计方法求极限:

lim⁡n→∞3n∫0∞⋯∫0∞cos⁡(x1+⋯+xnn)e−3(x1+⋯+xn)dx1⋯dxn.\lim \limits_{n\to \infty} 3^n \int_{0}^{\infty} \cdots \int_{0}^{\infty} \cos \left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right) e^{-3\left(x_1+\cdots+x_n\right)} \mathrm{d}x_1\cdots \mathrm{d}x_n.

2024微观部分真题

一、(20 分) 一个人作两期消费决策，第一期收入为 2，消费者在第 tt 期的效用函数为 u=ln⁡(ct)u = \ln(c_t)，消费者的折现率为 1，可以通过投资平滑过度到下一期。

  1. (10 分) 若第二期收入为 1，可购买利率为10% 的无风险国债，问消费者买多少国债最优？

  2. (10 分) 若第二期收入不确定，50% 概率为 2，50% 概率为 0，问买多少国债最优？

二、 (15 分) 有 4 个生产同质产品的厂家，单位商品成本（边际成本）为 10，一个代表性的消费者购买 XX 单位该产品得到的效用为20x−5x220x - 5x^2。

  1. (5 分) 若各厂商独立决策并追求利润最大化，问此时的总供给。

  2. (5 分) 若各厂商合谋追求利润最大化，问此时的总供给。

  3. (5 分) 问题 (1) 和 (2) 中总消费者剩余相差多少？并解释为什么消费者剩余会有差别。

三、 (20 分) 已知有两个股票投资者，可以选择卖空或者放弃，卖空成本为 100，放弃成本为 0。若两者都卖空，每人可获利 200，若只有一个卖空者或无人卖空（有一人放弃或两人均放弃时），则二者收益均为 0。

  1. (10 分) 若二者同时决策，求纳什均衡。

  2. (10 分) 若二者先后决策且后决策者能看到前者的决策，求子博弈完美均衡。

四、 (20 分) 已知公司运行新项目需要投资 100，项目净现值 NPV 为 bb，公司当前固定资产总值为 aa，需要向公众股权融资。公司可能处于以下两种状态之一：状态一：a=400,b=30a = 400, b = 30；状态二：a=100,b=10a = 100, b = 10。公司能够知道自己当前处于的状态，股票市场的投资者认为公司处于两种状态的概率均为 50%（具体情况只有公司知道，投资者无法判断，公司和投资者均为风险中性）。

  1. (10 分) 若公司无论如何都在股票市场融资，那么公司的定价应为多少？

  2. (10 分) 在 (1) 的条件下，在状态一时公司会选择股票融资吗？状态二呢？请解释原因。