北京师范大学-432统计学-2023年

一、单项选择题（每题3分，共18分）

  1. 已知 P(A∩B)=P(Aˉ∩Bˉ)P(A\cap B) = P(\bar{A}\cap \bar{B}), 且 P(A)=pP(A)=p, 则 P(B)=()P(B)=(\qquad).
    A. pp
    B. 1−p1-p
    C. 00
    D. 2p2p

  2. 已知 X∼N(0,1),YX \sim N(0,1), Y 以等概率取-1 和 1,Z=X⋅Z,X1, Z=X \cdot Z, X 与 YY 独立, 下列错误的是 ()(\qquad).
    A. ZZ 服从标准正态
    B. X,ZX, Z 不相关
    C. X,ZX, Z 不独立
    D. (X,Z)(X, Z) 服从二维正态

  3. X,YX,Y 独立服从同一种分布（参数不一定相同）, 且 X+YX+Y 也服从这种名称的分布, 则X,YX,Y的分布不可能是 ()(\qquad ).
    A. 正态
    B. 二项
    C. 指数
    D. 泊松

  4. X∼N(0,1)X\sim N(0,1), Y∼χ2(m)Y\sim \chi^2(m), Z∼χ2(n)Z\sim \chi^2(n), 则正确的说法是()(\qquad).
    A. X2∼χ2(1)X^2\sim \chi^2(1)
    B. XY/m∼t(m)\frac{X}{\sqrt{Y/m}}\sim t(m)
    C. Y/mZ/n∼F(m,n)\frac{Y/m}{Z/n}\sim F(m,n)
    D. 都对

  5. 有来自 P(λ)\mathcal{P}(\lambda) 的 i.i.d. 样本 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n, 则E(nXˉ2+S2)=()E(n\bar{X}^2+S^2)=(\qquad).
    A. 2λ2\lambda
    B. nλ2+λn\lambda^2+\lambda
    C. λ+(n+1)λ2\lambda+(n+1)\lambda^2
    D. 2λ+nλ22\lambda + n\lambda^2

  6. 有来自 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2) 的 i.i.d. 样本 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n, 记 S12S_1^2 是σ2\sigma^2 的MLE, S22S_2^2 是样本方差, 则说法错误的是 ()(\qquad).
    A. S22S_2^2 是 σ2\sigma^2 的MLE
    B. S12S_1^2 的方差更小
    C. S22S_2^2 是 σ2\sigma^2 的无偏估计
    D. S2S_2 是 σ\sigma 的有偏估计

二、填空题（每题3分，共30分）

  1. 甲乙丙独立做题，做对概率分别是 1/3,1/4,1/51/3,1/4,1/5, 则至少有一人做对的概率是 ‾\underline{\qquad}.

  2. 已知 ξ∼U(0,5)\xi\sim U(0,5), 则方程 4x2+4ξx+(ξ+2)=04x^2+4\xi x+(\xi+2)=0 有实根的概率是 ‾\underline{\qquad}.

  3. 已知 X,Y,ZX,Y,Z i.i.d. 服从 N(0,1)N(0,1), 则 E(X2X2+Y2+Z2)=‾E\left( \frac{X^2}{X^2+Y^2+Z^2} \right) =\underline{\qquad}.

  4. 设 Xˉ,S2\bar{X},S^2 是样本均值和样本方差, 而 Xˉ2−cS2\bar{X}^2-cS^2 是总体均值平方的无偏估计, 则 c=‾c=\underline{\qquad}.

  5. 已知 X,YX,Y i.i.d. 服从 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2), 则 aX+bYaX+bY 和 aX−bYaX-bY 的相关系数是 ‾\underline{\qquad}.

  6. 已知 X,YX,Y 不相关, X∼B(1,p1)X\sim B(1,p_1), Y∼B(1,p2)Y\sim B(1,p_2), 则 E(X2Y2)=‾E(X^2Y^2)=\underline{\qquad}.

  7. 某校学生身高近似服从标准差为 66 的正态分布, 对该校男生身高进行置信水 平为 95%95 \% 的区间估计, 若要求误差 d0d_0 不超过 1 , 则至少要调查的样本数为 ‾\underline{\qquad}.

  8. 设 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n i.i.d. 服从 U(0,1)U(0,1), 则 E(X(n))=‾E(X_{(n)})=\underline{\qquad}.

  9. 某设备发送 A.B 两种信号, 概率为 1:21: 2, 发射 A 信号但误接收为 B 的概率 为 0.020.02, 发射 B\mathrm{B} 信号对但接收为 A\mathrm{A} 的概率为 0.010.01, 则在接收到 A\mathrm{A} 信号时发射 A\mathrm{A} 信号的概率为 ‾\underline{\qquad}.

  10. 某一零件正常工作概率 0.950.95, 一个机器有 100 个零件, 至少 90 个零件正常 工作则机器可正常运作, 问机器正常运作的概率为 ‾\underline{\qquad}.

三、分析计算题（共102分）

  1. (20分) 简述两种图示方法, 分析 X1,X2,⋯ ,XnX_1,X_2,\cdots,X_n 是否为正态分布.

  2. (20分) 证明: 1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2=12n(n−1)∑i=1n∑j=1n(Xi−Xj)2\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2=\frac{1}{2n(n-1)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(X_i-X_j)^2, 并说明统计学意义.

  3. (20分) 有两组独立样本: X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n i.i.d. 服从 N(μ1,σ2)N(\mu_1,\sigma^2), Y1,⋯ ,YmY_1,\cdots,Y_m i.i.d. 服从 N(μ2,σ2)N(\mu_2,\sigma^2).
    (1) 求 μ1,μ2,σ2\mu_1,\mu_2,\sigma^2 的MLE.
    (2) 请构造 H0:μ1=μ2H_0:\mu_1=\mu_2 的水平为 α\alpha 的拒绝域（备择假设是其对立）.
    (3) 请构造 H0:σ2=σ02H_0:\sigma^2=\sigma_0^2 的水平为 α\alpha 的拒绝域（备择假设是其对立）.

  4. (20分) 已知 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n i.i.d. 来自总体 X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2), 任意 i,ji,j, Corr(Xi,Xj)=ρ\mathrm{Corr}(X_i,X_j)=\rho.
    (1) 求 E(∣X−μ∣)E(|X-\mu|);
    (2) 求 μ\mu 的矩估计;
    (3) 证明: ρ≥−1n−1\rho \ge -\frac{1}{n-1}.

  5. (12分) 设 F(y1,y2,⋯ ,yd)F(y_1,y_2,\cdots,y_d) 为 (Y1,⋯ ,Yd)(Y_1,\cdots,Y_d) 的联合分布函数, 而 Fi(yi)F_i(y_i) 是边际分布. 证明:

∣F(x1,⋯ ,xd)−F(y1,⋯ ,yd)∣≤∑i=1d∣Fi(xi)−Fi(yi)∣.\left| F\left( x_1,\cdots ,x_d \right) -F\left( y_1,\cdots ,y_d \right) \right|\le \sum_{i=1}^d{\left| F_i\left( x_i \right) -F_i\left( y_i \right) \right|}.

先证 d=2d=2 时的情形, 再证明一般的情形.

  1. (10分) 一元线性回归: Y=β0+β1X+εY=\beta_0+\beta_1X+\varepsilon, Y^=β^0+β^1X\hat{Y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1X, 其中 β^0,β^1\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1 是最小二乘估计. 证明皮尔逊相关系数的平方 r2r^2 与拟合优度 R2R^2 等价. 注意:

r=∑(Xi−Xˉ)⋅(Yi−Yˉ)∑(Xi−Xˉ)2∑(Yi−Yˉ)2,R2=∑(Y^i−Yˉ)2∑(Yi−Yˉ)2.r=\frac{\sum\left(X_i-\bar{X}\right) \cdot\left(Y_i-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum\left(X_i-\bar{X}\right)^2 \sum\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}},\quad R^2=\frac{\sum\left(\hat{Y}_i-\bar{Y}\right)^2}{\sum\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}.