中国科学技术大学-432统计学-2023年

一、填空题（每题5分，共50分）

1. 投掷硬币 $n$ 次, 已知正面出现了 $k$ 次, 则前两次是正面的概率是 $\underline{\qquad}$.

2. 设有三角形 $ABC$, 某人最开始站在 $A$ 点, 随机的向另外两个点走去, 随后每次如此, 问第 $n$ 次他走向 $A$ 点的概率是 $\underline{\qquad}$.

3. 已知将 $A,B,C$ 三个子母输入信道, 输出正确的概率是 $0.8$, 输出为其他字母的概率是 $0.1,0.1$. 现在, 等概率地输入 $AAAA,BBBB,CCCC$, 且观测到 $ACBA$, 问输入是 $AAAA$ 的概率为 $\underline{\qquad}$.

4. 检验的 $p$ 值是否为统计量? $\underline{\qquad}$.

5. 下列说法正确的个数是 $\underline{\qquad}$.
   (1) $R^2$ 越小说明方程的拟合越好;
   (2) $R^2$ 越大说明方程的拟合越好;
   (3) 残差 $e=\hat{y}-y$ 越大说明方程的拟合越好;
   (4) 残差分析图中, 点的分布越平稳说明方程的拟合越好, 且点分布带状图越窄, 说明拟合精度越高.

6. 对任意三角形 $ABC$ 内部取一点 $P$, 在 $BC$ 上取 $Q$, 则直线 $PQ$ 与 $AB$ 相交的概率是 $\underline{\qquad}$.
   A. $\frac{1}{2}$
   B. $\frac{|BC|}{|AB|+|BC|}$
   C. $\frac{|BC|^2}{|AB|+|BC|}$
   D. $\frac{|AB|+|AC|+\frac{|BC|}{2}}{|AB|+|AC|+|BC|}$ 不确定

7. 设 $X_1,\cdots,X_9$ 是 i.i.d. 的 $N(0,1)$ 随机变量, 下列正确的是 $\underline{\qquad}$.
   A. $\frac{X_1^2+X_2^2+X_3^2}{X_4^2+\cdots+X_9^2}\sim F(3,6)$
   B. $2\frac{X_1^2+X_2^2+X_3^2}{X_4^2+\cdots+X_9^2}\sim F(3,6)$
   C. $\frac{X_1^2}{X_1^2+X_2^2} \sim F(1,2)$
   D. $\frac{2X_1^2}{X_1^2+X_2^2} \sim F(1,2)$

8. 已知 $X\sim \mathcal{P}(\lambda)$, $Y\sim \mathcal{P}(\mu)$, 且它们独立, 求 $E(X|X+Y=n)=\underline{\qquad}$.

9. CLT，忘了，比较简单

10. 忘了

二、计算分析题

1. (25分) 已知 $X\sim f(x)=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x},x>0$, $Y\sim U(0,1)$, 且它们独立.
   (1) 求联合密度 $f(x,y)$;
   (2) 求 $Z=X+Y$ 的密度函数;
   (3) 求 $t^2+2Xt+Y=0$ 有实根的概率, 保留 3 位小数.

2. (10分) 假设检验问题: 给出两组正态总体数据 $X,Y$.
   (1) 检验 $H_0:\sigma_1^2 =\sigma_2^2$;
   (2) 检验 $H_0:\mu_1=\mu_2$.

3. (25分) 有来自总体 $f(x,a)=\frac{2x}{a^2},0<x<a$ 的 i.i.d. 样本 $x_1,\cdots,x_n$, 已知 $a>1$.
   (1) 求 $a$ 的矩估计 $\hat{a}_1$, 最大似然估计 $\hat{a}_2$, 以及 $P(0<X<\sqrt{a})$ 的MLE;
   (2) $\hat{a}_1$, $\hat{a}_2$ 是否为无偏估计, 若不是请修正;
   (3) 求 $n(a-\hat{a}_2)$ 在 $n\to \infty$ 的渐近分布.

4. (15分) 叙述题：(1) 叙述多重共线性的定义;
   (2) 如何判断多重共线性：
   (3) 如何消除多重共线性：
   (4) 叙述自变量的选择标准.

5. (25分) 设有来自 $f(x;\lambda)=\lambda e^{-\lambda x}$ 指数分布的 i.i.d. 样本 $x_1,\cdots,x_n$, 但由于某种原因只能观测到 $A_i=I_{\{a_i<x_i<b_i\}}$, 其中 $a_i,b_i$ 是给定常数, $i=1,2,\cdots,n$.
   (1) 写出 $(A_1,\cdots,A_n)$ 对应的对数似然函数 $\ell_A(\lambda)$, 同时写出完整样本 $(x_1,\cdots,x_n)$ 对应的对数似然函数 $\ell_X(\lambda)$;
   (2) 写出基于 $\ell_A(\lambda)$ 所求 MLE 满足的等式;
   (3) 分别考虑两个步骤:
   (i) E 步: 考虑 $X\sim Exp(\lambda_k)$, 求条件期望

$Q(\lambda|\lambda_k) = E[\ell_X(\lambda)|A,\lambda_k],$

(ii) M 步: 极大化 $Q(\lambda)$, 即

$\lambda_{k+1} =\underset{\lambda}{\mathrm{argmax}} Q(\lambda|\lambda_k).$

(4) 证明: 通过两个步骤迭代得到的序列 $\lambda_n \to \hat{\lambda}$, 其中 $\hat{\lambda}$ 是基于 $\ell_A(\lambda)$ 求得的 MLE. （提示：和 $a_i,b_i,\lambda_k,\lambda_0$ 有关）