中国科学技术大学-812概率论与数理统计-2023年

一、(16分) 袋中有 $a$ 个白球和 $b$ 个黑球. 第一次如果摸出白球则放回, 同时再放进一个白球, 如果第一次摸出黑球同理. 以此类推, 第 $k$, 如果摸出白球则放回, 同时再放进 $k$ 个白球, 黑球同理. 问第 $n$ 次摸到白球的概率.

二、(20分) 设总体的分布是 $f(x)=3x^2,0<x<1$, 从中抽取 i.i.d. 样本 $x_1,\cdots,x_n$.

(1) 求 $(x_{(1)},\cdots,x_{(n)})$ 即次序统计量的密度函数;
(2) 证明: $\frac{X_{(i)}}{X_{(j)}}$, $X_{(j)}$ 独立, 其中 $1\le i < j\le n$.

三、(16分) 设 $(X,Y)$ 的密度函数是

$$f\left( x,y \right) =\begin{cases} \frac{1}{4}\left( 1-\frac{1}{2}\left| x-y \right| \right) ,& \left( x,y \right) \in D_1,\\ 0,& \text{其他},\\ \end{cases}$$

其中 $D_1=\left\{ \left( x,y \right) :\left| x+y \right|<2,\left| x-y \right|<2 \right\}$.

(1) 求 $X+Y$ 的分布函数;
(2) 给定 $X=Y$, 求 $X+Y$ 的条件分布.

四、(16分) 已知标准柯西分布密度函数

$$f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)},\quad x\in R,$$

且有 $X_1,\cdots,X_n$ 是 i.i.d. 的该分布. 记

$$T_n = \max \{X_1,\cdots,X_n\},$$

证明: $\frac{\pi}{n}T_n$ 按分布收敛于某分布 $T$.

五、(42分) 已知总体密度函数是

$$f\left( x;\sigma \right) =\frac{x}{\sigma ^2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}},\quad x>0,$$

且有随机样本 $x_1,\cdots,x_n$.

(1) 求 $X^2$ 的分布;
(2) 求 $\sigma^2$ 的MLE;
(3) 证明MLE的无偏性;
(4) 求 $\sigma$ 的矩估计, 已知 $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$;
(5) 给出 $H_0:\sigma^2 =1 \quad \mathrm{vs} \quad H_1:\sigma^2>1$ 的水平为 $\alpha$ 的拒绝域;
(6) 在大样本下, 利用中心极限定理给出上一问假设检验问题的近似水平为 $\alpha$ 的拒绝域.

六、(20分) 设 $X\sim B(1,p)$, 有 i.i.d. 样本 $x_1,\cdots,x_n$.
(1) 给出充分完备统计量;
(2) 求 $g(p)=p(1-p)$ 的一致最小方差无偏估计.

七、(20分) 设有回归模型

$$y_i = \beta_0 +\beta_1 x_i + \varepsilon_i,\quad i=1,2,\cdots,n,$$

其中残差 $\varepsilon \sim N(0,\sigma^2)$. 设 $(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1)$ 是参数的最小二乘估计.

(1) 给出 $\hat{\beta}_0$ 和 $\hat{\beta}_1$ 的分布;
(2) 求 $Cov(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1)$;
(3) 利用残差平方和给出 $\sigma^2$ 的无偏估计.