南开大学-432统计学-2023年

一、选择题 (每题 4 分, 共 28 分)

1. 离散型随机变量 $X$ 可能的取值是 $0,2,3$ , 且 $P(X = 0) = 0.3, P(X = 2) = 0.1, P(X = 3) = 0.6$, 令 $Y = 3 (X-1)^2$, 则 $E(Y) =$ ( )

(a) 8.4
(b) 6
(c) 4
(d) 7.2

2. $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的简单随机样本, 记 $S_{1}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n{\left( X_i-\bar{X} \right) ^2}$, $S_{2}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{\left( X_i-\bar{X} \right) ^2}$, 则以下结论不正确的是 ( )

(a) $S_2$ 是 $\sigma$ 的MLE
(b) $S_1^2$ 是 $\sigma^2$ 的相合估计
(c) $S_2^2$ 是 $\sigma^2$ 的相合估计
(d) $\frac{\sqrt{n-1}\left( \bar{X}-\mu \right)}{S_1}\sim t\left( n-1 \right)$

3. 对于下述两个命题, 命题A: $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的有效估计; 命题B: $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的UMVUE. 下列结论正确的是 ( )

(a) $A\Leftrightarrow B$
(b) $A\Rightarrow B,B\nRightarrow A$
(c) $A\nRightarrow B,B\Rightarrow A$
(d) $A\nRightarrow B,B\nRightarrow A$

4. 下面关于独立性的说法中, 错误的是 ( )

(A) 随机向量的边际分布可以确定其联合分布
(B) 随机变量 $X,Y$ 独立 当且仅当 $\varphi _X\left( t_1 \right) \varphi _Y\left( t_2 \right) =\varphi _{\left( X,Y \right)}\left( t_1,t_2 \right)$, 其中 $\varphi _X\left( t_1 \right) ,\varphi _Y\left( t_2 \right) ,\varphi _{\left( X,Y \right)}\left( t_1,t_2 \right)$ 分别是 $X,Y$ 各自的特征函数以及它们的联合特征函数
(c) 独立一定不相关
(D) 对于二元正态分布而言, 其分量之间相互独立的充要条件是不相关

5. 在进行两总体 $t$ 检验时, 在 $\alpha = 0.05$ 的显著性水平下拒绝了原假设, 则两总体均值相等的概率是 ( )

(a) $\frac{1}{19}$
(b) $\frac{1}{20}$
(c) $\frac{1}{18}$
(d) 无法确定

6. 已知 $X$ 的密度函数 $f(x)$ 是偶函数, 设 $F(x)$ 是其分布函数, 则对于正数 $a$, 下列说法正确的是 ( )

(a) $F(-a) + \frac{1}{2} = F(a)$
(b) $F(-a) = 1-F(a)$
(c) $F(-a) + \frac{1}{4} = F(a)$
(d) $F(a) + F(-a) = 0$

7. 下列说法不正确的是 ( )

(a) $X \sim N(0,1)$, 则其特征函数 $\varphi(t) = e^{-\frac{t^2}{2}}$
(b) 泊松
(c) 指数
(d) 均匀

二、填空题(每题4分, 共32分)

1. 一位作家共有 $p$ 本作品, 现将这 $p$ 本作品成套出售, 现将 $n$ 套作品(共 $nP$ 本)打乱成 $n$ 堆, 每堆都有 $p$ 本, 则每堆作品都恰是一套作品的概率是 ________.

2. 掷两枚骰子, 记事件 $A$ 为 “两枚骰子的点数和是3”, 事件 $B$ 为 “至少掷出1个1”, 则概率 $P(A\mid B) =$________.

3. 现有 $n$ 个不同的球, 分别标号为 $1,2,\cdots, n$, 进行有放回取球, 则抽出 $r$ 种不同球时所用的平均次数是 ________.

4. 随机变量 $X,Y$ 独立, 皆服从标准正态分布 $N(0,1)$, 则 $E\left[ \max \left\{ X,Y \right\} \right] =$ ________.

5. 设总体 $X \sim U(0, \theta)$,现从该总体中抽取容量为 10 的样本,样本值为:

$$\begin{array}{llllllllll} 0.5 & 1.3 & 0.6 & 1.7 & 2.2 & 1.2 & 0.8 & 1.5 & 2.0 & 1.6 \end{array}$$

则参数 $\theta$ 的矩估计是________.

6. 有来自$N(\mu,\sigma^2)$的$n$个随机样本$x_1,\cdots,x_n$, $\mu, \sigma$未知, $\bar{x}$和$s^2$是样本均值和样本方差, 则$\mu$的$1-\alpha$置信区间是________.

7. 随机变量 $X \sim B(N,p)$, 其中 $N$ 已知, 则参数 $p$ 的 Fisher信息量是 ________.

8. 随机变量 $X$ 的取值范围是 $[0,1]$, 则 $Var(X)$ 最多不超过 ________.

三、解答题(90分)

1.(10分) 随机向量 $(X,Y)$ 的联合密度函数是 $f(x,y) = x+y, 0 < x,y < 1$.

(1) 求 $(X,Y)$ 的联合分布函数 $F(x,y)$;

(2) 求 $X,Y$ 各自的边际密度函数;

(3) 判断 $X,Y$ 是否独立.

2.(10分) $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体密度函数为

$$f\left( x \right) =\left( a+1 \right) x^a,0<x<1.$$

的简单随机样本, 试求 $a$ 的矩估计与 MLE.

3.(15分) $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $U(0, \theta)$ 的简单随机样本, 则

(1) 证明 $U=\frac{n+1}{n}X_{\left( n \right)}$ 与 $V=2\bar{X}$ 均为 $\theta$ 的无偏估计;

(2) 判断并说明 $U$ 与 $V$ 二者谁更有效.

4.(10分) 已知随机序列 $X_n\xrightarrow{L}X$ 以及 $Y_n\xrightarrow{p}a$, 证明: $X_n+Y_n\xrightarrow{L}X+a$.

5.(10分) 为判断一枚骰子是否均匀, 掷 120 次, 得到的结果如下表:

1	2	3	4	5	6
$x$	20	20	20	20	$40-x$

则当 $x$ 的值为多少时, 可以认为骰子是均匀的?

6.(10分) 某住宅楼调查住户是否愿意安装电梯, 假设住户中愿意安装电梯的比例是 $p$,

(1) 若 $p = 0.5$, 试用中心极限定理估计事件 $A =$ “25位居民中14位愿意安装电梯” 发生的概率;

(2) 若 $p$ 未知, 调查得到居民中愿意安装电梯的比例是 $\bar{X}_n$, 且 $p$ 的 90% 置信区间为 $\left[ \bar{X}_n-0.01,\bar{X}_n+0.01 \right]$, 试求样本量 $n$.

7.(15分) 现有 100 个来自总体 $N(\mu, 4)$ 的简单随机样本 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$, 对于假设检验问题

$$H_0:\mu =3\ vs\ H_1:\mu \ne 3,$$

(1) 给出显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下的拒绝域;

(2) 求 $\mu = 3.5$ 时的第二类错误;

(3) 若备择假设是 $H_1: \mu = 4$, 当样本量增加为 $n$ 且 $n \rightarrow \infty$ 时, 证明检验的功效 $\rightarrow 1$.

8.(10分) $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体瑞利分布总体的简单随机样本, 总体的密度函数是

$$f\left( x \right) =\frac{1}{\theta ^2}xe^{-\frac{x^2}{2\theta ^2}},x>0,$$

试求 $\theta$ 的 UMVUE.