清华大学-432统计学-2023年

一、(20分) 已知 $X$ 服从 $f(x)=c \frac{e^{-\frac{x}{2}}} {(1+e^{-\frac{x}{2}})^2}, -\infty<x<\infty$.

(1) 求 $c$;
(2) 令 $Y=X^3$,求$Y$的密度函数.

二、(20分) 已知 $X$ 的密度函数为

$f(x;\theta )=\frac{3x^2}{\theta ^3},0<x<\theta ,$

其中 $\theta$ 的先验分布是 $U(0,1)$. 求后验分布 $\pi(\theta\vert X=x)$.

三、(20分) 证明: $T$ 是 $\theta$ 的无偏估计, 则 $T(x)$ 是$\theta$的UMVUE的充要条件是对任意零的无偏估计$U$,都有$E[TU]=0.$

四、(20分) 设 $X_i\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, $i=1,2,...,n$, 其中 $\sigma$已知. 求如下假设检验问题的UMPT, 若UMPT不存在, 请说明理由.
(1) $H_0:\mu = \mu_0 \quad \text{v.s.} \quad H_1:\mu = \mu_1 < \mu_0$.
(2) $H_0:\mu = \mu_0\quad \text{v.s.}\quad H_1:\mu \neq \mu_0$.

五、(40分) $X_1,X_2,...,X_n\sim \mathcal{P}(\lambda)$, 并且彼此独立.
(1)求$\lambda$的最大似然估计$\hat{\lambda_n}$
(2)判断$\hat{\lambda}_n+\frac{1}{\sqrt{n}}$是否为$\lambda$的相合估计.
(3)求$\sqrt{n}(\hat{\lambda}_n - \lambda)$的极限分布.
(4)求$\sqrt{n}(\hat{\lambda}_n^2 - \lambda^2)$的极限分布.

六、(30分) 有回归模型

$y_i = \beta x_i + e_i,\quad 1\leq i \leq n$

当 $1 \leq i \leq n_1$ 时, $e_i\sim \mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$, 当 $n_1+1\leq i \leq n$ 时, $e_i\sim \mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$.
(1) 求 $\beta$ 的最小二乘估计及其分布.
(2) 求 $\beta$ 的最大似然估计及其分布, 比较其方差与最小二乘估计的方差.
(3) 若 $e_i$ 的分布未知, 但已知其期望方差不变, 求 $\beta$ 的无偏估计, 使其方差不大于 (1) 中估计量的方差.