上海交通大学-432统计学-2023年

一、选择题

1. 先在一个学校的所有班级中抽 10 个班级, 然后在这 10 个班级中的所有学生中抽 $30 \%$, 请问这属于什么抽样（）
   A. 整群抽样
   B. 多阶段抽样
   C. 简单随机抽样
   D. 配额抽样

2. 现有三个汽车厂商在江苏和浙江的销量数据, 如果想要比较他们的销售结构, 用下列哪种图来进行展示最合适 ( )
   A. 雷达图
   B. 复式饼图
   C. 环形图
   D. 帕累托图

3. 一组数据的下四分位数是 20, 上四分位数是 30, 现已知某个数据是 61, 请问它属于以下哪种类型? ( ）
   A. 极端点
   B. 离群点
   C. 异常值
   D. 最大点
   【解析】 $\mathrm{A}$, 考祭离群点和极端点的定义。上下分位数 $+-1.5 * \mid \mathrm{QR}$ 外是离群点, 上下分位数 $+-3 * 1 \mathrm{QR}$ 外是极端点, 在这里 $I Q R=10$, 上分位数 $+3 * \mid Q R=60<61$, 因此选 $A_0$

4. 对某所学校的学生进行抽样, 一种方法是按男女比例 $6: 4$ 抽样, 另一种是按照文科理科比例 $5: 5$ 抽样, 请问这属于什么抽样方法?（ ）
   A. 典型抽样
   B. 重点抽样
   C. 滚雪球抽样
   D. 配额抽样

5. 一所大学准备采取一项学生在宿舍上网收费的措施, 为了解男女学生对这一措施的看法, 分别抽取了 150 名 男学生和 120 名女学生进行调查, 得到的结果如下:

	男同学	女同学	合计
赞成	45	42	87
反对	105	78	183
合计	150	120	270

根据该列联表, 男女学生反对上网收费的期望频数分别为（）
A. 48 和 39
B. 102 和 81
C. 15 和 14
D. 25 和 19

6. 随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布, 分布列均为 ${P}(X=k)=2^{-k}, k=1,2,3, \ldots$, 则 $P(X \geq n Y) =$ ( )
   A. $\frac{2}{2^{n+1}-1}$
   B. $\frac{2}{2^{n}-1}$
   C. $\frac{1}{2}$
   D. $\frac{1}{2^{n+1}-1}$

7. 随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立, 分别服从参数为 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 的指数分布, 则 $X+Y$ 的密度函数是 ( )

A. $(\lambda_1 + \lambda_2) e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)z}, z>0$
B. $\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}\left(\exp \left(-\lambda_1 z\right)-\exp \left(-\lambda_2 z\right)\right), z>0$
C. $(\lambda_1 - \lambda_2) e^{-(\lambda_1 - \lambda_2)z}, z>0$
D. $(\lambda_1 \lambda_2) e^{-(\lambda_1 \lambda_2)z}, z>0$

8. $\hat{\theta}_n$ 是参数 $\theta$ 的一个估计量, 假设 $\hat{\theta}_n$ 的期望与方差均存在, 且当样本量 $n$ 趋于无穷时, ${E}\left[\hat{\theta}_n\right] \rightarrow \theta$, ${Var}\left(\hat{\theta}_n\right) \rightarrow 0$, 则以下说法中, 错误的是 ( )
   A. $\hat{\theta}_n$ 是参数 $\theta$ 的一致估计量
   B. $\hat{\theta}_n$ 依分布收敛到 $\theta$
   C. ${P}\left(\lim _{n \rightarrow+\infty} \hat{\theta}_n=\theta\right)=1$
   D. $\lim _{n \rightarrow+\infty} {E}\left[\left(\hat{\theta}_n-\theta\right)^2\right]=0$

9. 对于正态总体的一组随机样本, 总体的方差 $\sigma^2$ 已知. 考虑假设检验问题: $H_0: \mu=100 \leftrightarrow H_1: \mu \neq 100$. 现已知 $\mu$ 的 $95 \%$ 置信区间是 $[102.18,109.82]$, 则对于前面提到的假设检验问题, 基于该数据算得的 $p$ 值最有可能是 ( )
   A. $0.0013$
   B. $0.0026$
   C. $0.0052$
   D. $0.01$

10. 某电视台为统计收视率, 使用电话采访收集群众是否看过该电视台, 若要求 0.05 显著性水平下的误差不超过 $10 \%$, 则需要的最低样本量是 ( )
    A. 193
    B. 97
    C. 100
    D. 200

11. 以下哪个分布不是指数族分布 ( )
    A. 二项分布
    B. 双参数指数分布
    C. 泊松分布
    D. 正态分布

12. 有来自两点分布总体 $b(1, \theta)$ 的一组简单随机样本 $X_1, \ldots, X_n$, 则 $\theta$ 的无偏估计的方差的 CR 下界是 ( )

A. $\frac{\theta \left( 1-\theta \right)}{n}$
B. $\frac{\theta }{n}$
C. ${\theta \left( 1-\theta \right)}$
D. $\frac{1-\theta }{n}$

13. 某 4s 店声称其汽车达到了 10000 公里平均里程数的标准, 产检部门为检验他的说法是否属实, 应选取的备择假设是 ( )
    A. 平均里程数大于 10000 公里
    B. 平均里程数小于 10000 公里
    C. 平均里程数等于 10000 公里
    D. 平均里程数大于等于 10000 公里

14. 某教授声称手术之后病人的胰岛素水平会降至 15 以下, 为了检验他的说法是否正确, 建立了假设检验问题 $H_0: \mu \geq 15 \leftrightarrow H_0: \mu<15$, 现观测到经过手术后的 100 位病人的胰岛素水平并在 $0.05$ 的显著性水平下拒绝了原假设, 则以下说法正确的是 ( )
    A. 没有充分的证据证明原假设错误
    B. 原假设的可信度小于 $5 \%$
    C. 正确接受备择假设的概率至少为 $95 \%$
    D. 正确接受备择假设的概率至少为 $97.5 \%$

15. 含交互项的双因素方差分析，行因素有 $r$ 个水平，列因素有 $m$ 个水平，每组重复 $k$ 次，总共有 $n$ 个样本. 下面的方差分析表中 (I) (II) (III) 处的值缺失, 则缺失值 (III) 应该是 ( )

来源	df	SS	MS	F
因素A	2	1.078	0.539	40.86
因素B	2	0.052	0.026	1.96
A:B	(I)	0.689	(II)	(III)
残差	18	0.238	0.013
总计	26	2.057

A. 26.5
B. 13.25
C. 8.33
D. 5.89

16. 对一组数据建立三元线性回归,

$$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\beta_3 x_3+\varepsilon$$

其中只有 $x_1$ 通过 $t$ 检验, 则以下说法中错误的是 ( )
A. 无需对整个模型进行线性检验
B. $x_2, x_3$ 不显著的原因可能是多重共线性造成的
C. 可以通过检验变量之间的相关系数来确定是否存在多重共线性
D. $x_2, x_3$ 可以舍弃, 因为系数不显著, 没有意义

17. 随机变量 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$, 则 $Y=e^X$ 的概率密度函数是 ( )

A. $\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left(-\frac{(\ln y)^2}{2 \sigma^2}\right)$
B. $\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma y} \exp \left(-\frac{y^2}{2 \sigma^2}\right)$
C. $\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma y} \exp \left(-\frac{(\ln y)^2}{2 \sigma^2}\right)$
D. $\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma y} \exp \left(-\frac{(\ln y)^2}{2}\right)$

18. 关于拟合优度 $R^2$ 和调整拟合优度 $R_a^2$ 的关系, 以下说法错误的是 ( )
    A. $R_a^2$ 可能为负
    B. $R_a^2$ 始终小于 $R^2$
    C. $R_a^2$ 用样本量 $n$ 和自变量个数 $k$ 来进行调整后, 避免了引进不必要的自变量而高估 $R^2$
    D. 当自变量的个数越来越多的时候, $R_a^2$ 取值会越来越接近 $R^2$

19. 某时间序列数据存在 2 个拐点, 则用下列什么曲线来拟合更合适? ( )
    A. 二阶
    B. 三阶
    C. 指数曲线
    D. 一阶

20. 以下哪一个指标不受时间序列平均水平和计量尺度的影响 ( )
    A. 平均误差
    B. 平均绝对误差
    C. 均方误差
    D. 平均相对误差

21. 现有规模一大一小两家公司, 若想比较工资的离散程度, 可以采用以下哪个指标 ( )
    A. 方差
    B. 平均数
    C. 变异系数
    D. 异众比率

22. 以下哪项是标准化残差图的作用 ( )
    A. 检验相关性和方差齐性
    B. 检验方差齐性和独立性
    C. 检验正态性和独立性
    D. 检验正态性和方差齐性

23. 报税时候将数据报高, 属于以下哪类误差 ( )
    A. 有意识误差
    B. 无回答误差
    C. 理解误差
    D. 系统误差

24. 面访式调查的缺点是 ( )
    A. 提高回答率
    B. 回答的质量难以控制
    C. 不能对数据摱集所花费的时间进行调解
    D. 成本较高

25. 现有两条曲线, 曲线 A 的峰度系数是 2.5, 曲线 B 的峰度系数是是 3.5, 则 ( )
    A. 曲线 A 比曲线 B 略显陡峭
    B. 曲线 A 比曲线 B 陡峭许多
    C. 曲线 B 比曲线 A 略显陡峭
    D. 曲线 B 比曲线 A 陡峭许多

26. 随机变量 $(X, Y) \sim N\left(0,0, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\right)$, 则 ${E}[X \mid Y] = $ ( )
    A. $Y$
    B. $0$
    C. $\rho \frac{\sigma _1}{\sigma _2}Y$
    D. $\frac{\sigma _1}{\sigma _2}Y$

27. $X_1, \ldots, X_{20}$ 是来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$的简单随机样本, 其中参数 $\mu$ 已知, 则以下哪个是 $\sigma^2$ 的无偏的充分统计量 ( )
    A. $\frac{\sum_{i=1}^{20}\left(X_i-\mu\right)^2}{20}$
    B. $\frac{\sum_{i=1}^{20}\left(X_i-\bar{X}\right)^2}{20}$
    C. $\frac{\sum_{i=1}^{19}\left(X_i-\mu\right)^2}{19}$
    D. $\frac{\sum_{i=1}^{19}\left(X_i-\bar{X}\right)^2}{19}$

28. 关于众数，说法正确的是（）
    A. 一组数据肯定有一个众数
    B. 一组数据肯定不止一个众数
    C. 众数用于描述顺序型数据的集中趋势
    D. 众数用于描述分类型数据的集中趋势

29. 在某公司进行的英语水平测试中, 新员工的平均得分是80分, 标准差是 5 分, 中 位数是85分, 则新员工得分的分布形状是 ( )
    A. 对称的
    B. 左偏的
    C. 右偏的
    D. 无法确定

30. 当模型存在严重的多重共线性时, OLS 估计量将不具备 ( )
    A. 线性
    B. 无偏性
    C. 有效性
    D. 一致性

二、简答题

1. 现有一组某互联网公司的薪资数据, 数据包括了: 程序员年龩 $S$、工作年限 $X$ (年)、学历 $E$ ( 1:本科 2 :硕士 3: 博士), 试构建合适的线性模型来预测程序员的年薪, 并解释各系数的意义.

2. 名词解释: 复合型序列。简述“移动平均趋势剔除法”的步骤, 以及所用的乘法模型公式, 用乘法模型公式表示分离季节成分。

3. 随机变量 $X_1, X_2 \stackrel{\text { i.i.d. }}{\sim} U(0, \theta)$, 记 $Y=\max \left\{X_1, X_2\right\} , Z=\min \left\{X_1, X_2\right\}$.
   (1) 求 $(Y, Z)$ 的联合概率密度函数.
   (2）考虑假设检验问题:

$$H_0: \theta \leq 1 \leftrightarrow H_0: \theta>1$$

以及拒绝域 $W=\{(y, z): y z>0.9\}$, 求该检验的势函数.

4. 简单随机样本 $X_1, \ldots, X_n$ 来自于标准正态总体 $N(0,1)$, 试求 $Y_n=\sqrt{X_1^2+\ldots+X_n^2}-\sqrt{n}$ 的极限分布.

三、计算题

1. 设简单随机样本 $X_1, \ldots, X_n \stackrel{\text { i.i.d. }}{\sim} N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 已知 $\left(\bar{X}, S_n\right)$ 为 $\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的充分完备统计量, 其中

$$\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \quad S_n^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$$

(1) 求 $\mu, \sigma$ 的极大似然估计;
(2) 求 $\left(\bar{X}, S_n^2\right)$ 的分布 (提示: $\chi^2(m)$ 的密度函数为 $f_m(x)=\frac{(1 / 2)^{\frac{m}{2}}}{\Gamma(m / 2)} x^{\frac{m}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}$ );
(3) 由充分完备统计量求 $\mu+3 \sigma$ 的 UMVUE;
(4) 由充分完备统计量求 $\frac{\mu^2}{\sigma^2}$ 的 UMVUE.

2. 考虑一元线性回归模型: $y_i=\beta_0+\beta_1 x_i+\varepsilon_i$, 其中 $y$ 表示成年男性的身高或成年女性的身高乘以 $1.08$, $x$ 表示 父母亲的平均身高, 已有统计量 $\sum_{i=1}^n x_i=1750, \sum_{i=1}^n y_i=1770, \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)=300$, $\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)\left(x_i-\bar{x}\right)=625, \sum_{i=1}^n\left(y_i-\bar{y}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)=400$ , 样本量 $n=10$.
   (1) 求估计的回归方程;
   (2) 求决定系数 $R^2$ 并解释其意义;
   (3) 已知某位家庭中, 父亲 $190 \mathrm{~cm}$ 母亲 $170 \mathrm{~cm}$, 估计其儿女身高;
   (4) 对于假设检验问题: $H_0: \beta_1=0.7$ v.s. $H_1: \beta_1 \ne 0.7$, 试在 $5 \%$ 的显著度下进行假设检验.

四. 证明题 (1小题, 共10分)

1. 简单随机样本 $U_1, \ldots, U_n$ 来自于均匀分布总体 $U(0,1)$, 记 $T_n=\max _{1 \leq i \leq n} U_i$, 则
   (1) 求 $T_n$ 的分布函数
   (2) 证明 $n\left(1-T_n\right) \stackrel{L}{\rightarrow} {Exp}(1)$