北京大学数院-431金融学综合-2023年

一、(12分) 设 X,YX,Y 独立同服从 {0,1,2,3,4}\{0,1,2,3,4\} 上的均匀分布，记 XY=10ξ+ηXY=10\xi + \eta，即十位数是 ξ\xi，个位数是 η\eta。
(1) 求 ξ\xi 的分布列；
(2) 求 P(η≤1∣ξ=0)P(\eta \le 1 |\xi =0);
(3) 求 E(Xξ)E(X\xi).


二、(13分) 已知 XX 的分布是

f(x)=be−a∣x∣,x∈R,f(x)=be^{-a|x|},\quad x\in R,

且 Var(X)=1Var(X)=1.

(1) 求 a,ba,b;
(2) 记函数

gε(x)={x,∣x∣≤ε,−x,∣x∣>ε,g_{\varepsilon}(x)=\begin{cases} x,& \left| x \right|\le \varepsilon ,\\ -x,& \left| x \right|>\varepsilon ,\\ \end{cases}

其中 ε>0\varepsilon>0 已知，求 gε(X)g_{\varepsilon}(X) 的分布；
(3) 求 Cov(X,gε(X))Cov(X,g_{\varepsilon}(X)).


三、(12分) 设 X1,X2,X3,X4X_1,X_2,X_3,X_4 是 i.i.d. U(0,c)U(0,c) 随机变量，其中 c>0c>0 已知。如果 Xi≤kcX_i\le kc 代表违约。定义两个产品，

Y1:四个全违约时支付0元, 否则支付1元,Y2:两个及以上违约时支付0元, 否则支付1元.\begin{aligned} &Y_1:\quad \text{四个全违约时支付0元, 否则支付1元},\\ &Y_2:\quad \text{两个及以上违约时支付0元, 否则支付1元}. \end{aligned}

(1) 求 Y1,Y2Y_1,Y_2 的期望；
(2) 求 P(Y1=0,Y2=1)P(Y_1=0,Y_2=1) 和 P(Y1=1,Y2=0)P(Y_1=1,Y_2=0).


四、(13分) 已知 N(t)N(t) 是强度为 11 的泊松过程，定义 YnY_n 满足

nYn+n=N(n).\sqrt{n} Y_n + n = N(n).

(1) 证明: Yn→LN(0,1)Y_n \xrightarrow{L} N(0,1);
(2) 估算 P(20≤N(25)≤25)P(20\le N(25)\le 25).


五、(15分) 已知 Y∼N(0,σ2)Y\sim N(0,\sigma^2), 以及 X=∣Y∣X=|Y|, 有来自 XX 的 i.i.d. 样本 X1,X2,⋯ ,XnX_1,X_2,\cdots,X_n.
(1) 求 XX 的分布；
(2) 求 σ2\sigma^2 的无偏矩估计；
(3) 求 σ2\sigma^2 的MLE。


六、(5分) 设 Xn∼B(n,12)X_n \sim B(n,\frac{1}{2}), 如果要求 Xnn\frac{X_n}{n} 与 12\frac{1}{2} 的差距小于0.04的概率大于0.95，求 nn 的最小值.


七、(10分) 设有来自 B(r,θ)B(r,\theta) 的 i.i.d. 样本 x1,⋯ ,xnx_1,\cdots,x_n, 其中 rr 已知。
(1) 求 Fisher 信息量 I(θ)I(\theta)；
(2) 求 g(θ)g(\theta) 使得 g(θ)g(\theta) 的无偏估计的方差下界与 θ\theta 无关。


八、(10分) 设随机变量 XX 的分布是 f(x;λ)=λm(λx)m−1e−(λx)m,x>0f(x;\lambda)= \lambda m (\lambda x)^{m-1}e^{-(\lambda x)^m},x>0. m>0m>0 已知, 求下述检验的 UMPT:

H0:λ=λ0vsH1:λ>λ0.H_0:\lambda =\lambda_0 \quad \mathrm{vs} \quad H_1: \lambda>\lambda_0.

并指出检验统计量的分布.


九、(10分) 有线性模型 Yij=αi+βxij+eijY_{ij}=\alpha_i+\beta x_{ij}+e_{ij}, i=1,⋯ ,mi=1,\cdots,m, j=1,⋯ ,nj=1,\cdots,n. 其中 E(eij)=0E(e_{ij})=0, Var(eij)=σ2Var(e_{ij})=\sigma^2, 求 (α1,⋯ ,αm,β)(\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta) 的 LSE.


十、(10分) 有两种累积方式，A: 单利 9%9\% 利率；B: 复利 6%6\% 利率。问何时 A 的利息力首次低于 B。


十一、(15分) 贷款 LL 元，月名利率 12%12\%，偿债基金月名利率 6%6\%。每月底偿还1000元，先偿还利息，剩余部分存至偿债基金，总计 3 年，求 LL 以及实际利率 rr, 结果在百分号下保留 1 位小数。


十二、(15分) 20年贷款100万元，月名利率 6%6\%，某年出台政策，调整后的月名利率为 3.6%3.6\%。
(1) 问原利率下还款的总利息比调整后还款总利息多多少；
(2) 比较两种利率下，第2次还款和最后一次还款中利息的差额。


十三、(10分) 某公司股票今年收益 3 元，计划年底分红 1 元。以后每年收益以 8% 增加，分红则是收益的 1/3。
(1) 假设收益率是 12%，计算股票价格；
(2) 求分红现金流的久期。