复旦大学-432统计学-2023年

一、(10分) 从 $1$ 到 $2n+1$ 这些整数里任意挑选 $2$ 个, 求其中一个大于 $n+1$, 另外一个小于 $n+1$ 的概率.

二、(10分) 证明: 二元正态分布的边际分布是正态分布. 但两个边际正态分布联合却不一定是正态分布, 请举例说明.

三、(10分) 设 $X\sim N(0,1)$, $Y\sim Exp(1)$, 且它们独立, 求 $\frac{X}{Y}$ 的密度函数.

四、(10分) 设 $X\sim N(0,1)$, $Y\sim B(1,p)$, 且它们独立, 求 $X+Y$ 的概率分布.

五、(10分) 设$Y$是非负随机变量, 且$0<Var(Y)<\infty$, 证明

$P(Y>0) \ge \frac{(EY)^2}{E(Y^2)}.$

六、(15分) 设 $\alpha>0, \beta \geq 0, \xi$ 是随机变量. 证明: $\lim _{x \uparrow+\infty} x^{\alpha+\beta} P(|\xi|>x)=0$ 当且仅当

$\lim _{x \uparrow+\infty} x^{\alpha} E\left(|\xi|^{\beta} I_{|\xi|>x}\right)=0 .$

七、(15分) $X\sim N(0,1)$, $f$ 是有界连续函数, 其导函数也有界连续 求证:

(1) (Stein引理) $E[f(X)X]=E[f'(X)]$;
(2) (Poincare不等式) $E\left[ \left(f(X)-Ef(X)\right)^2 \right] \le E\left[ \left( f'\left( X \right) \right) ^2 \right]$.

八、(20分) (1) 请写出 $\mathcal{P}(\lambda)$ 的分布列;

(2) 请证明 $\mathcal{P}(\lambda)$ 的可加性;

(3) 利用中心极限定理证明: $\lim_{n\rightarrow \infty} e^{-n}\sum_{k=0}^n{\frac{n^k}{k!}}=\frac{1}{2}$.

九、(10分) 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是i.i.d. 来自 $U(0,\theta)$ 的随机样本, 其次序统计量是 $(X_{(1)},\cdots,X_{(n)})$. 对于假设检验问题

$H_0:\theta \ge 5 \quad \mathrm{vs} \quad H_1:\theta <5$

给定拒绝域 $W=\{X_{(n)}\le 4\}$, 要求第一类错误小于0.01, 问 $n$ 至少是多少?

十、(10分) 设总体为均匀分布 $U(\theta,\theta+1)$, $\theta$ 的先验分布是 $U(5,8)$, 现有观测值: 6.1, 6.5, 6.7, 6.9. 求 $\theta$ 的后验分布.

十一、(15分) 设有来自总体 $f(x;\theta)$ 的 i.i.d. 样本 $X_1,\cdots,X_n$.

(1) 叙述充分统计量的定义;

(2) 若 $f(x;\theta)=\theta (1-\theta)^{x}, x=0,1,\cdots,$ 判断 $T=\sum_{k=1}^n X_k$ 是否为充分统计量.

十二、(15分) 设有来自 $f(x;\theta)= \theta x^{\theta-1},0<x<1$ 的 i.i.d. 样本 $X_1,\cdots,X_n$.

(1) 求 $g(\theta)=\frac{1}{\theta}$ 的MLE;

(2) 第(1)问的MLE是否为有效估计?