中山大学-432统计学-2023年

一、选择题(每题 3 分, 共 12 空, 总 36 分)

1、设 X∼N(μ,σ2)X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), 则 E∣X−μ∣=E|X-\mu| =（ ）

A.σ2\sigma^2;
B.σ2\frac{\sigma}{2};
C.σ\sigma;
D.σ2π\sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}}.


2、 设随机变量 X∼N(0,1)X \sim N(0,1), 若常数 xpx_p 满足 P(X≤xp)=pP\left(X \leq x_p\right)=p, 则称常数 xpx_p 为 pp 分位数, 则 ∣X∣|X| 的中位数是 ( )
a. x0.25x_{0.25}
b. x0.50x_{0.50}
c. x0.75x_{0.75}
d. x0.67x_{0.67}


3、已知 E(XY)=E(X)E(Y)E(X Y)=E(X) E(Y), 以下结论正确的是 ( )
a. Var⁡(XY)=Var⁡(X)Var⁡(Y)\operatorname{Var}(X Y)=\operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y)
b. Var⁡(X+Y)=Var⁡(X)+Var⁡(Y)\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)
c. XX 和 YY 独立
d. XX 和 YY 不独立


4、以下说法中, 错误的是 ( )
a. 如果 Xn→DaX_n \stackrel{D}{\rightarrow} a, 那么 Xn→PaX_n \stackrel{P}{\rightarrow} a
b. 如果 Xn→DXX_n \stackrel{D}{\rightarrow} X, 那么 Xn→PXX_n \stackrel{P}{\rightarrow} X
c. 如果 Xn→PXX_n \stackrel{P}{\rightarrow} X, 那么 Xn→DXX_n \stackrel{D}{\rightarrow} X
d. 如果 Xn→DX,Yn→PaX_n \stackrel{D}{\rightarrow} X, Y_n \stackrel{P}{\rightarrow} a, 那么 XnYn→DaXX_n Y_n \stackrel{D}{\rightarrow} a X


5、设 X>0X>0, 已知 E(1/X)E(1 / X) 和 1/EX1 / E X 均存在, 则以下关于 E(1/X)E(1 / X) 和 1/EX1 / E X 的大小关的说法, 正确的是 ( )
a. E(1/X)≥1/EXE(1 / X) \geq 1 / E X
b. E(1/X)=1/EXE(1 / X)=1 / E X
c. E(1/X)≤1/EXE(1 / X) \leq 1 / E X
d. 无法确定


6、 设简单随机样本 X1,⋯ ,Xn∼iidN(μ,σ2)X_1, \cdots, X_n \stackrel{i i d}{\sim} N\left(\mu, \sigma^2\right), 方差 σ2\sigma^2 已知, 给定置信水平 1−α1-\alpha, 关于 μ\mu 的置信区间, 以下说法不正确的是 ( )
a. 样本量增大, 区间长度变短
b. 总体均值范围增大, 区间长度变宽
c. 方差增大, 区间长度变宽
d. 1−α1-\alpha 增大, 区间长度变宽


7、 设 X,YX, Y 独立, 均服从伽马分布 Γ(2,4)\Gamma(2,4), 则 X+YX+Y 服从的分布是 ( )
a. 伽马分布 Γ(4,8)\Gamma(4,8)
b. 伽马分布 Γ(4,4)\Gamma(4, 4)
c. 贝塔分布 Beta(2,4)Beta(2,4)
d. 贝塔分布 Beta(4,4)Beta(4,4)


8、 设有来自某总体的简单随机样本, 其样本均值为 Xˉ\bar{X}, 样本方差为 S2S^2, 则下列说法正确的是 ( )
a. SS 和 Xˉ\bar{X} 独立
b. SS 是 σ\sigma 的最大似然估计量
c. SS 是 σ\sigma 的无偏估计量
d. SS 是 σ\sigma 的相合估计量


8、 以下结论中, 与 Var⁡(E(Y∣X))=Var⁡(Y)\operatorname{Var}(E(Y \mid X))=\operatorname{Var}(Y) 互为充要条件的是 ( )
a. XX 以概率 1 能够用 YY 线性表示
b. Y−E[Y∣X]=0Y-E[Y \mid X]=0
c. E(Var⁡(Y∣X))=0E(\operatorname{Var}(Y \mid X))=0
d. E(Y−E(Y∣X))=0E(Y-E(Y \mid X))=0


10、 在假设检验问题中, 控制显著性水平 α\alpha 不变, 则增加样本容量, 发生的变化是 ( )
a. 一类错误概率减小
b. 一类错误概率增大
c. 二类错误概率减小
d. 二类错误概率增大


11、 为研究某地区儿童的含铅量指标水平是否高于普通儿童，应该设定的假设检验问题为 ( )
a. 原假设 μ>μ0\mu>\mu_0, 备择假设 μ=μ0\mu=\mu_0
b. 原假设 μ<μ0\mu<\mu_0, 备择假设 μ=μ0\mu=\mu_0
c. 原假设 μ=μ0\mu=\mu_0, 备择假设 μ>μ0\mu>\mu_0
d. 原假设 μ=μ0\mu=\mu_0, 备择假设 μ<μ0\mu<\mu_0


12、 对于均匀分布总体 ∼iidU(−θ,θ),θ>0\stackrel{i i d}{\sim} U(-\theta, \theta), \theta>0 的一组简单随机样本, 以下说法正确的是 ( )
a. min⁡{−X(1),X(n)}\min \left\{-X_{(1)}, X_{(n)}\right\} 是充分统计量
b. (X(1),X(n))\left(X_{(1)}, X_{(n)}\right) 是完备统计量
c. X(n)−X(1)X_{(n)}-X_{(1)} 是辅助统计量
d. X(n)/X(1)X_{(n)} / X_{(1)} 是辅助统计量


二、填空题(每空 3 分, 共 14 空, 总 52 分)

1、 一个人是 A、B、AB、OA 、 B 、 A B 、 O 型血的概率分别为 0.4、0.2、0.1、0.30.4 、 0.2 、 0.1 、 0.3, 现任意在人群中选四个人, 则他们血型全不相同的概率为____.


2、 袋中有 mm 个白球 与 nn 个黑球, 现有放回摸球直到摸到白球停止, 则摸到白球之前黑球的个数的数学期望是____.


3、 随机变量 XX 的概率密度函数是 f(x)=kexp⁡{−x28},x>0f(x)=k \exp \left\{-\frac{x^2}{8}\right\}, x>0, 则 k=k=____.


4、 随机变量 XX 的概率密度函数为 f(x)=38x2,0<x<2f(x)=\frac{3}{8} x^2, 0<x<2, 则 E(1X2)E\left(\frac{1}{X^2}\right)____.


5、 X1,⋯ ,XnX_1, \cdots, X_n 是来自总体 N(μ,σ2)N\left(\mu, \sigma^2\right) 的简单随机样本, 其中 σ2\sigma^2 已知, 则对于假设检验问题 H0:μ=1H_0: \mu=1 vs H1:μ>1H_1: \mu>1, 显著性水平为 α\alpha 的 UMP 拒绝域是____, 该检验在 μ=2\mu=2 时的功效是____.


6、 X1,⋯ ,XnX_1, \cdots, X_n 是来自泊松分布 Poisson(λ){Poisson}(\lambda) 总体的简单随机样本, 设 θ=ln⁡λ\theta=\ln \lambda, 则 θ\theta 的最大似然估计是 θ^=\hat{\theta}= ____, n(θ^−θ)\sqrt{n}(\hat{\theta}-\theta) 的极限分布是 ____.


7、现对一组数据进行描述性统计, 绘制出下面的箱线图, 则图中 a,b,ca, b, c 三个纵坐标对应的统计量分别是 ____, ____, ____.


8、 对于某项 nn 重伯努利试验, 现观测到事件发生了 n−1n-1 次, 则对于假设检验问题 H0:p=1/2,H1:p>1/2H_0: p=1 / 2, H_1: p> 1 / 2, 当前的 pp 值是 ____.


9、 现有三组数据进行方差分析, 样本量均为 nn, 试用每一组的样本方差Si2,i=1,2,3S_i^2, i = 1,2,3 和每一组的组内均值 Yˉi,i=1,2,3\bar{Y}_i, i = 1,2,3 以及总均值 Yˉˉ\bar{\bar{Y}} 来给出组内均方 (MSW) 和 组间均方 (MSB) 的表达式, 它们分别是 ____ 和 ____


三、解答题(3 题, 共 72 分)

1（22 分）、 X1,⋯ ,XnX_1, \cdots, X_n 是来自两点分布 B(1,p)B(1, p) 总体的简单随机样本, 记函数 g(p)=p2(1−p)g(p)=p^2(1-p), 已知样本量 n≥4n \geq 4, 则
(1) (4分) 证明 X1X2(1−X3)X_1 X_2\left(1-X_3\right) 是 g(p)g(p) 的无偏估计量
(2) (8分) 计算 X1X2(1−X3)X_1 X_2\left(1-X_3\right) 的相对效率
(3) (10分) 试给出 g(p)g(p) 的一致最小方差无偏估计


2、(26 分) 现有两组简单随机样本, 其中 X1,⋯ ,Xm∼N(μ1,σ2)X_1, \cdots, X_m \sim N\left(\mu_1, \sigma^2\right), Y1,⋯ ,Yn∼N(μ2,σ2)Y_1, \cdots, Y_n \sim N\left(\mu_2, \sigma^2\right), 其中 μ1,μ2\mu_1, \mu_2 均为末知参数, 记 θ=μ1−μ2\theta=\mu_1-\mu_2, 试解决以下问题:
(1) (8分) 若 σ2\sigma^2 末知, 构建 θ\theta 的枢轴量 TT, 并推导它的分布;
(2) (8分) 若 σ2\sigma^2 末知, 对假设检验问题 H0:θ=0H_0: \theta=0 vs H1:θ≠0H_1: \theta \neq 0, 给出一个显著性水平为 α\alpha 的拒绝域, 并利用反转接受域的方法给出 θ\theta 一个的 (1−α)100%(1-\alpha) 100 \% 水平置信区间;
(3) (10分) 若 σ2\sigma^2 已知, 求 (2) 中假设检验问题的广义似然比检验（GLRT）, 并判断该检验是否为一致最优势检验 (UMPT).


3、 (24分) 设 X1,⋯ ,XnX_1, \cdots, X_n 是来自均匀分布总体 U(−θ,0)U(-\theta, 0) 的简单随机样本, 其中末知参数 θ>0\theta>0, 考虑假设检验问题 H0:θ=θ0H_0: \theta=\theta_0 vs H1:θ≠θ0H_1: \theta \neq \theta_0.
(1) (6分) 求广义似然比检验统计量 Λ\Lambda;
(2) (8分) 当原假设成立时, 求 −2log⁡Λ-2 \log \Lambda 的精确分布;
(3) (10分) 给出一个显著性水平为 α\alpha 的检验, 并写出功效函数.