北大叉院-849统计学-2023年

一、灯泡 $A_1$, $A_2$ 串联, 它们的寿命分别是期望为 $1/\lambda_1,1/\lambda_2$ 的指数分布. 求整个系统的运行时长 $Y$ 的分布与期望.

二、$(X,Y)$ 的联合密度是

$f\left( x,y \right) =\begin{cases} c\left| xy \right|,& \left| x \right|+\left| y \right|<1,\\ 0,& \text{其他}.\\ \end{cases}$

(1) 求 $c$;

(2) 求边际分布, 并判断是否独立;

(3) 求 $\mathrm{Cov}(X,Y)$, 并判断是否线性相关.

三、已知 $X,Y$ 独立服从 $N(0,1)$, 令 $Z=|X-Y|$, 求 $E(Z)$, $Var(Z)$.

四、已知 $Y_i=X_i^T \beta+\varepsilon_i, i=1,2, \ldots, n, \varepsilon_i$ i.i.d. $\sim N\left(0, \sigma^2\right)$, $X_i\in R^p$, $\beta\in R^p$.

(1) 求 $\beta, \sigma^2$ 的 MLE $\widehat{\beta}, \widehat{\sigma^2}$;

(2) 当 $X$ 是给定时, 求 $\widehat{\beta}$ 的分布;

(3) $Y_i=a+b x_i+\varepsilon_i, i=1,2, \ldots, n, \varepsilon_i$ i.i.d $\sim N\left(0, \sigma^2\right)$, 求 $\operatorname{MLE} \hat{a}, \hat{b}$, 并证明 $\hat{a}, \hat{b}$ 独立当且仅当 $\sum_{i=1}^n x_i=0$.

五、设有 $N$ 个袋子, 每个袋子都是 $n$ 白球和 $m$ 黑球. 从第一个袋子里取出一个球放到第二个袋子里, 再从第二个袋子里取球放到第三个袋子里, 以此类推.

(1) 问在最后一个口袋取出白球的概率;

(2) 已知第一个口袋取出了白球, 问最后一个口袋取出白球的概率是多少.

六、设有来自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的 $n$ 个 i.i.d. 样本.

(1) 设 $\sigma$ 已知, 构造 $\mu$ 的 $1-\alpha$ 置信区间, 求最小样本量使得区间长度小于等于 $\frac{\sigma}{5}$;

(2) 设 $\sigma$ 未知, 构造 $\mu$ 的 $1-\alpha$ 置信区间.

七、设有来自 $U(-\theta,\theta)$ 总体的 $n$ 个 i.i.d. 样本.

(1) 求 $\theta$ 的MLE;

(2) 判断无偏性;

(3) 判断相合性.

八、现有A, B两种药以及500个患者, 将患者分为甲乙两组: 甲300个, 痊愈168个; 乙200个, 痊愈98个. 问在 $\alpha=0.05$下, 两个药的效果有没有差异.

九、设有 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是来自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的随机样本, 定义

$\tilde{\mu}=\mathop {\mathrm{arg}\min} \limits_{c}\left\{ \sum_{i=1}^n{\left( x_i-c \right) ^2}+\lambda c^2 \right\} ,$

其中 $\lambda >0$ 是给定的常数.

(1) 求 $\tilde{\mu}$ 的表达式;

(2) 求 $E(\tilde{\mu})$, $Var(\tilde{\mu})$.