北京大学-431金融学综合-2023年-解析

北京大学-431金融学综合-2023年

2023统计部分解析

一、(15分) 设 $X\sim N(0,1)$, 求 $E[X^3|X\ge 0]$.

Solution: 根据条件期望定义, 有

$$\begin{aligned} E\left[ X^3|X\ge 0 \right] &=\frac{E\left( X^3I_{\left\{ X\ge 0 \right\}} \right)}{P\left( X\ge 0 \right)}=2E\left( X^3I_{\left\{ X\ge 0 \right\}} \right) =2\int_0^{+\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}x^3e^{-\frac{x^2}{2}}dx}\\ &=\frac{4}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{+\infty}{\left( \frac{x^2}{2} \right) e^{-\left( \frac{x^2}{2} \right)}xdx}=\frac{4}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{+\infty}{ue^{-u}du}=\frac{4}{\sqrt{2\pi}}.\\ \end{aligned}$$

二、(20 分) 某品牌商发起调查, 调查购买某商品的比率 $p$. 现在他准备调查 $n$ 个顾客($n$较大), 如果购买了该商品则纪录为 $x_i=1$, 否则 $x_i=0$.

(1)(8分) 给定置信水平 $90\%$, 给出 $p$ 的置信区间.
(2)(12分) 保持置信水平 $90\%$不变, 如果希望置信区间无论如何不超过 $1\%$, 问需要多少样本量?

Solution:

(1) 显然 $x_1,\cdots,x_n$ 独立同服从 $B(1,p)$, 期望为 $p$, 方差为 $p(1-p)$, 根据中心极限定理, 有

$$\bar{x} \sim AN\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right),$$

因此有 $\sqrt{n}\frac{\bar{x}-p}{\sqrt{p\left( 1-p \right)}}\sim AN\left( 0,1 \right)$ 可以作为枢轴量, 但分母中 $p$ 未知比较麻烦, 我们考虑 $\sqrt{n}\frac{\bar{x}-p}{\sqrt{\bar{x} \left( 1-\bar{x} \right)}}\sim AN\left( 0,1 \right)$. 考虑到 $z_{0.95} = 1.645$, 因此有置信区间为

$$p \in \left[ \bar{x}-1.645\frac{\sqrt{\bar{x}\left( 1-\bar{x} \right)}}{\sqrt{n}},\bar{x}+1.645\frac{\sqrt{\bar{x}\left( 1-\bar{x} \right)}}{\sqrt{n}} \right] .$$

(2) 置信区间长度为 $3.29\frac{\sqrt{\bar{x}\left( 1-\bar{x} \right)}}{\sqrt{n}}$, 令其 $\le 0.01$, 有

$$n\ge \left( \frac{3.29}{0.01} \right)^2 \bar{x}\left( 1-\bar{x} \right),$$

我们想要使得它恒成立, 在不知道 $\bar{x}$ 是多少的情况下, 就必须让 $n$ 大于等于右侧的最大值, 利用 $\bar{x}(1-\bar{x})\le \frac{1}{4}$, 得

$$n\ge \frac{1}{4}\cdot \left( \frac{3.29}{0.01} \right) ^2=27060.3.$$

因此至少要调查27061个人.

三、(20 分) 设有两组独立样本: $x_1,\cdots,x_n$ 来自 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$, $y_1,\cdots,y_m$ 来自 $N(\mu_2,\sigma_2^2)$. 现 $\sigma_1,\sigma_2$ 已知, $\mu_1,\mu_2$ 未知, 两组之间样本也独立, 记 $\theta = \mu_1-\mu_2$.
(1)(5 分) 求 $\theta$ 的最大似然估计 $\hat{\theta}$.
(2)(5 分) 若 $N=n+m$ 是固定的, 想使 $\hat{\theta}$ 的均方误差最小, 如何设定 $n$ 和 $m$?
(3)(5 分) 延续第 (2) 问, 考虑假设检验问题

$$H_0: \theta=0\quad \mathrm{vs} \quad H_1: \theta \neq 0$$

给出显著性水平为 $\alpha$ 时的拒绝域.

Solution:

(1) 根据正态MLE结论, $\hat{\mu}_1=\bar{x}$, $\hat{\mu}_2 = \bar{y}$, 由MLE不变性, 得 $\hat{\theta}=\bar{x}-\bar{y}$, 它是正态的线性组合, 分布是

$$\hat{\theta}\sim N\left( \theta ,\frac{\sigma _{1}^{2}}{n}+\frac{\sigma _{2}^{2}}{m} \right) .$$

(2) 根据 (1), 即在 $N=n+m$ 给定时, 求

$$\mathrm{mse}\left( \hat{\theta} \right) =Var\left( \hat{\theta} \right) =\frac{\sigma _{1}^{2}}{n}+\frac{\sigma _{2}^{2}}{m}$$

的最小值. 这是二元条件极值问题, 可以用拉格朗日乘数法, 但我们可以考虑柯西-施瓦茨不等式, 即

$$\left( n+m \right) \left( \frac{\sigma _{1}^{2}}{n}+\frac{\sigma _{2}^{2}}{m} \right) \ge \left( \sqrt{n}\cdot \frac{\sigma _1}{\sqrt{n}}+\sqrt{m}\cdot \frac{\sigma _2}{\sqrt{m}} \right) ^2=\left( \sigma _1+\sigma _2 \right) ^2,$$

当且仅当 $\frac{\frac{\sigma _1}{\sqrt{n}}}{\sqrt{n}}=\frac{\frac{\sigma _2}{\sqrt{m}}}{\sqrt{m}}$ 时取等, 即 $n:m=\sigma_1:\sigma_2$.

故当我们取 $n=\frac{\sigma_1 N}{\sigma_1+\sigma_2}$, $m=\frac{\sigma_2 N}{\sigma_1+\sigma_2}$ 时, mse 最小, 为 $\frac{(\sigma_1+\sigma_2)^2}{N}$.

【注】: 柯西-施瓦茨不等式指的是

$$\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2} \right) \left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots +b_{n}^{2} \right) \ge \left( a_1b_1+a_2b_2+\cdots a_nb_n \right) ^2,$$

当且仅当 $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots =\frac{a_n}{b_n}$ 时等号成立.

(3) 检验统计量是

$$z=\frac{\hat{\theta}}{\sqrt{\frac{\left( \sigma _1+\sigma _2 \right) ^2}{N}}}=\sqrt{N}\frac{\hat{\theta}}{\sigma _1+\sigma _2},$$

其分布在 $H_0$ 成立时为 $N(0,1)$. 如果 $|z|$ 较大, 说明 $\theta$ 很可能不为0, 故拒绝域是

$$W=\left\{ \left| z \right|>z_{1-\frac{\alpha}{2}} \right\} =\left\{ \left| \hat{\theta} \right|>\frac{\sigma _1+\sigma _2}{\sqrt{N}}z_{1-\frac{\alpha}{2}} \right\} .$$

四、(20分) 设有线性模型

$$Y= X \beta + \varepsilon,$$

其中 $Y_{n\times1}$ 是被解释变量, $X_{n\times p}$是秩为 $p$ 的解释变量, $\beta_{p\times 1}$ 是待估参数, $\varepsilon_{n\times 1}$ 是误差项, 满足 $E(\varepsilon|X)=0$, $Var(\varepsilon|X)=V(X)$, 其中 $V(X)$ 正定.
(1)(5分) 求最小二乘估计 $\hat{\beta}$ 的方差. (假设$X$给定)
(2)(10分) 把 $X\beta$ 分块为

$$X\beta =\left( X_1,X_2 \right) \left( \begin{array}{c} \beta _1\\ \beta _2\\ \end{array} \right) =X_1\beta _1+X_2\beta _2,$$

试求 $\beta_2$的 最小二乘估计 $\hat{\beta}_2$.
(3)(5分) 设 $V(X)=I_n$ 单位矩阵, 求 $Var(\hat{\beta}_2)$. (假设$X$给定)

Solution: (1) 根据最小二乘解, 有 $\hat{\beta}=\left( X^TX \right) ^{-1}X^TY$, 故有

$$\begin{aligned} Var\left( \hat{\beta} \right) &=\left( \left( X^TX \right) ^{-1}X^T \right) Var\left( Y \right) \left( \left( X^TX \right) ^{-1}X^T \right) ^T\\ &=\left( X^TX \right) ^{-1}X^TV\left( X \right) X\left( X^TX \right) ^{-1}.\\ \end{aligned}$$

(2) 根据题意, 有

$$\left( \begin{array}{c} \hat{\beta}_1\\ \hat{\beta}_2\\ \end{array} \right) =\left( \begin{matrix} X_{1}^{T}X_1& X_{1}^{T}X_2\\ X_{2}^{T}X_1& X_{2}^{T}X_2\\ \end{matrix} \right) ^{-1}\left( \begin{array}{c} X_{1}^{T}Y\\ X_{2}^{T}Y\\ \end{array} \right) ,$$

记两个矩阵:

$$P_{X_1}=X_1\left( X_{1}^{T}X_1 \right) ^{-1}X_{1}^{T},\quad M_{X_1}=I_n-P_{X_1},$$

其中 $P_{X_1}$ 是投影到$X_1$张成空间中的投影矩阵, $M_{X_1}$ 是则是投影到与 $X_1$ 垂直的空间的投影矩阵, 可以理解为消去了 $X_1$ 的影响. 根据分块矩阵求逆公式(见文末[注]), 有

$$\left( X^TX \right) ^{-1}=\left( \begin{matrix} \cdots& \cdots\\ -\left( X_{2}^{T}M_{X_1}X_2 \right) ^{-1}X_{2}^{T}X_1\left( X_{1}^{T}X_1 \right) ^{-1}& \left( X_{2}^{T}M_{X_1}X_2 \right) ^{-1}\\ \end{matrix} \right) ,$$

因此有

$$\begin{aligned} \hat{\beta}_2&=-\left( X_{2}^{T}M_{X_1}X_2 \right) ^{-1}X_{2}^{T}X_1\left( X_{1}^{T}X \right) ^{-1}X_{1}^{T}Y+\left( X_{2}^{T}M_{X_1}X_2 \right) ^{-1}X_{2}^{T}Y\\ &=\left( X_{2}^{T}M_{X_1}X_2 \right) ^{-1}X_{2}^{T}Y-\left( X_{2}^{T}M_{X_1}X_2 \right) ^{-1}X_{2}^{T}P_{X_1}Y\\ &=\left( X_{2}^{T}M_{X_1}X_2 \right) ^{-1}X_{2}^{T}\left( I_n-P_{X_1} \right) Y=\left( X_{2}^{T}M_{X_1}X_2 \right) ^{-1}X_{2}^{T}M_{X_1}Y.\\ \end{aligned}$$

此外, 利用 $M_{X_1}$ 是投影矩阵(对称幂等), 即有 $M_{X_1}^2 = M_{X_1}^T M_{X_1}=M_{X_1}$, 我们还可将 $\hat{\beta}_2$ 写为

$$\hat{\beta}_2=\left[ \left( M_{X_1}X_2 \right) ^T\left( M_{X_1}X_2 \right) \right] ^{-1}\left( M_{X_1}X_2 \right) ^TY,$$

记 $Z=M_{X_1}X_2$, 则恰是用 $X_2$ 作因变量, $X_1$ 作自变量得到的回归残差, 此时有

$$\hat{\beta}_2=\left( Z^TZ \right) ^{-1}Z^TY,$$

也意味着我们将 $X_2$ 投影到 $X_1$ 张成空间的补空间中单独作为变量与 $Y$ 进行回归得到的最小二乘估计.

(3) 由 $\hat{\beta}_2=\left( Z^TZ \right) ^{-1}Z^TY$, 有

$$\begin{aligned} Var\left( \hat{\beta}_2 \right) &=\left( \left( Z^TZ \right) ^{-1}Z^T \right) Var\left( Y \right) \left( \left( Z^TZ \right) ^{-1}Z^T \right) ^T\\ &=\left( Z^TZ \right) ^{-1}Z^TZ\left( Z^TZ \right) ^{-1}=\left( Z^TZ \right) ^{-1}=\left( X_{2}^{T}M_{X_1}X_2 \right) ^{-1}.\\ \end{aligned}$$

【注】: 设 $A_{m\times m}$, $B_{m\times n}$, $C_{n\times m}$, $D_{n\times n}$, 则分块矩阵 $M=\left( \begin{matrix} A& B\\ C& D\\ \end{matrix} \right)$ 的逆矩阵的求解过程是: 第一步考虑消去 $C$, 有

$$\left( \begin{matrix} I_m& O\\ -CA^{-1}& I_n\\ \end{matrix} \right) M=\left( \begin{matrix} A& B\\ O& D-CA^{-1}B\\ \end{matrix} \right) ,$$

再考虑消去 $B$, 有

$$\left( \begin{matrix} I_m& O\\ -CA^{-1}& I_n\\ \end{matrix} \right) M\left( \begin{matrix} I_m& -A^{-1}B\\ O& I_n\\ \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} A& O\\ O& D-CA^{-1}B\\ \end{matrix} \right) ,$$

化简并同时求逆矩阵得

$$\begin{aligned} M^{-1}&=\left( \begin{matrix} I_m& -A^{-1}B\\ O& I_n\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} A^{-1}& O\\ O& \left( D-CA^{-1}B \right) ^{-1}\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} I_m& O\\ -CA^{-1}& I_n\\ \end{matrix} \right)\\ &=\left( \begin{matrix} A^{-1}& -A^{-1}B\left( D-CA^{-1}B \right) ^{-1}\\ O& \left( D-CA^{-1}B \right) ^{-1}\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} I_m& O\\ -CA^{-1}& I_n\\ \end{matrix} \right)\\ &=\left( \begin{matrix} A^{-1}+A^{-1}B\left( D-CA^{-1}B \right) ^{-1}CA^{-1}& -A^{-1}B\left( D-CA^{-1}B \right) ^{-1}\\ -\left( D-CA^{-1}B \right) ^{-1}CA^{-1}& \left( D-CA^{-1}B \right) ^{-1}\\ \end{matrix} \right).\\ \end{aligned}$$

2023微观部分解析

一、（20 分）两期决策问题，时间记为 $t = 1, 2$，初始财富为 $W$，分配给第一期消费 $C_1$ 和储蓄 $S$，第二期消费来自上一期储蓄所得，$C_2 = RS$，这里储蓄收益率为 $R$，为确定性常数，$R = \mu > 1$，决策人在每一期的效用函数为 $-\frac{1}{C_1} - \frac{\beta}{C_2}$，$0 < \beta < 1$，其中 $\beta$ 为贴现率。

1. (5 分) 求第一期的最优消费 $C_1$ 和储蓄 $S$ 表达式，当储蓄收益率上升时，储蓄 $S$ 如何变化？

2. (10 分) 假设储蓄收益率 $R$ 有一定风险，即 $R$ 是分布在 $[\mu - \epsilon, \mu + \epsilon]$ 的均匀分布，其中 $0 < \epsilon < \mu$，在作决策时，决策人不知道 $R$ 具体取多少，决策人的目标是最大化两期的预期效用和 $-\frac{1}{C_1} - E\left(\frac{\beta}{C_2}\right)$，其中 $E$ 表示对不确定因素求期望，求第一期的最优消费 $C_1$ 和储蓄 $S$ 表达式。

3. (5 分) 比较 (1) 和 (2) 中的储蓄 $S$，哪个更高？当 (2) 中 $\epsilon$ 上升，储蓄 $S$ 如何变化？

Solution：

(1) 构造拉格朗日函数：

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{C_1} - \beta \cdot \frac{1}{\mu S_1} + \lambda (W - C_1 - S_1)$$

对 $C_1$ 和 $S_1$ 求导数，并令导数为零：

• 对 $C_1$ 求导：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial C_1} = \frac{1}{C_1^2} - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{1}{C_1^2}$$

• 对 $S_1$ 求导：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial S_1} = \beta \cdot \frac{1}{\mu S_1^2} - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{\beta}{\mu S_1^2}$$

将两式联立，消去 $\lambda$，得到：

$$\frac{1}{C_1^2} = \frac{\beta}{\mu S_1^2}$$

取平方根：

$$\frac{1}{C_1} = \frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\mu} S_1} \quad \Rightarrow \quad C_1 = \frac{\sqrt{\mu}}{\sqrt{\beta}} S_1$$

将其代入预算约束 $W = C_1 + S_1$，得到：

$$W = \frac{\sqrt{\mu}}{\sqrt{\beta}} S_1 + S_1 = \left( \frac{\sqrt{\mu}}{\sqrt{\beta}} + 1 \right) S_1$$

解出 $S_1$：

$$S_1 = \frac{W}{\frac{\sqrt{\mu}}{\sqrt{\beta}} + 1} = \frac{\sqrt{\beta} W}{\sqrt{\mu} + \sqrt{\beta}}$$

然后将其代入 $C_1$ 的表达式，得到：

$$C_1 = \frac{\sqrt{\mu} W}{\sqrt{\mu} + \sqrt{\beta}}$$

当 $\mu$ 增加时，分母增大，因此 $S_1$ 减少。

(2) 最大化期望效用：

$$\max E\left[ U \right] = -\frac{1}{C_1} - \frac{\beta}{S_1} E\left( \frac{1}{R} \right)$$

因此只需将 (1) 问结论中的 $\mu$ 替换为 $\frac{1}{E\left( \frac{1}{R} \right)} = \frac{2\varepsilon}{\ln \left( \frac{\mu + \varepsilon}{\mu - \varepsilon} \right)}$。
此时，结论为：

$$\begin{cases} S_1 = \frac{\sqrt{\beta} W}{\sqrt{\frac{2\varepsilon}{\ln \left( \frac{\mu + \varepsilon}{\mu - \varepsilon} \right)}} + \sqrt{\beta}}, \\ C_1 = \frac{\sqrt{\frac{2\varepsilon}{\ln \left( \frac{\mu + \varepsilon}{\mu - \varepsilon} \right)}} W}{\sqrt{\frac{2\varepsilon}{\ln \left( \frac{\mu + \varepsilon}{\mu - \varepsilon} \right)}} + \sqrt{\beta}}. \\ \end{cases}$$

(3) 关于 (1) 和 (2) 中的 $S_1$ 大小关系，我们只需要判断 $\mu$ 和 $\frac{1}{E\left( \frac{1}{R} \right)}$ 谁大。
根据 Jensen 不等式，有 $E\left( \frac{1}{R} \right) > \frac{1}{E\left( R \right)} = \frac{1}{\mu}$，因此 $\frac{1}{E\left( \frac{1}{R} \right)} < \mu$，这说明 $S_1$ 增大。

进一步，再看 $\epsilon$ 增大的影响，此时只需看函数：

$$g\left( \epsilon \right) = \frac{2\epsilon}{\ln \left( \frac{\mu + \epsilon}{\mu - \epsilon} \right)} = \frac{2\epsilon}{\ln \left( \mu + \epsilon \right) - \ln \left( \mu - \epsilon \right)}$$

在 $\epsilon > 0$ 的单调性，那我们不妨看 $h = \frac{1}{g}$ 的单调性。
求导，有：

$$h'\left( \epsilon \right) = \frac{1}{4\epsilon^2} \left[ \left( \frac{1}{\mu + \epsilon} + \frac{1}{\mu - \epsilon} \right) \cdot 2\epsilon - 2 \cdot \ln \left( \frac{\mu + \epsilon}{\mu - \epsilon} \right) \right]$$

$$= \frac{1}{2\epsilon^2} \left( \frac{2\mu \epsilon}{\mu^2 - \epsilon^2} - \ln \left( \frac{\mu + \epsilon}{\mu - \epsilon} \right) \right)$$

定义 $\varphi \left( \epsilon \right) = \frac{2\mu \epsilon}{\mu^2 - \epsilon^2} - \ln \left( \frac{\mu + \epsilon}{\mu - \epsilon} \right)$，有 $\varphi(0) = 0$，再求导有：

$$\varphi' \left( \epsilon \right) = \frac{4\mu \epsilon^2}{\left( \mu^2 - \epsilon^2 \right)^2} \ge 0$$

这说明 $\varphi$ 函数单增、恒正，故 $h'$ 恒正，$h$ 单增。
这说明 $g$ 单调减，即 $\epsilon$ 的增大导致 $g$ 的减小，分母减小，$S_1$ 进一步增大。

二、（20 分）两个消费者，分别编号为 $i = 1, 2$，效用函数分别为 $U_1 = \sqrt{gC_1}$，$U_2 = \sqrt{gC_2}$，两人各自财富为 $W_i$，分配到公共品消费 $g_i$ 和私人消费 $C_i$，$W_i = g_i + C_i$，每个人获得的公共品消费 $g = g_1 + g_2$。

1. (5 分) 假设有政府可以获得两人的财富，并由政府直接决定 $g_i$ 和 $C_i$，目标是最大化两人效用之和 $\sqrt{gC_1} + \sqrt{gC_2}$，求最优的公共品消费和私人消费，并求最优效用和。

2. (10 分) 假设每人独立决策，同时决定各自的私人消费和公共品消费，且不知道对方的决策，求总的公共品消费 $g$ 和每人的私人消费 $C_i$。比较此时的效用 (1) 中的最优效用和，哪个更高？为什么？

3. (5 分) 假设政府对两人财富课税，税率为 $t$，政府所得 $t(W_1 + W_2)$ 投入公共品， 两人各自对剩下的财富 $(1-t)W_i$ 独立决策，此时 $g = t(W_1 + W_2) + g_1 + g_2$，求 $t$ 为多少时，效用和最大。

Solution：

(1) 构造拉格朗日函数

$$L(C_1, C_2, g, \lambda) = \sqrt{gC_1} + \sqrt{gC_2} + \lambda(W_1 + W_2 - C_1 - C_2 - g),$$

求导，得到：

$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial C_1} = \frac{1}{2}\sqrt{g} C_1^{-\frac{1}{2}} - \lambda = 0, \\ \frac{\partial L}{\partial C_2} = \frac{1}{2}\sqrt{g} C_2^{-\frac{1}{2}} - \lambda = 0, \\ \frac{\partial L}{\partial g} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{C_1} + \sqrt{C_2} \right) g^{-\frac{1}{2}} - \lambda = 0, \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = W_1 + W_2 - C_1 - C_2 - g = 0, \end{cases}$$

解得：$C_1 = C_2 = \frac{W_1 + W_2}{4}$, $g = \frac{W_1 + W_2}{2}$, $U_{\text{max}} = \frac{\sqrt{2}}{2} (W_1 + W_2)$。

此外，可以利用基本不等式做法：由 $g + C_1 + C_2 = W_1 + W_2$，以及 $C_1 + \frac{g}{2} \ge 2 \sqrt{C_1 \cdot \frac{g}{2}} = \sqrt{2} \sqrt{C_1 g}$，得：

$$U = \sqrt{g} \cdot \sqrt{C_1} + \sqrt{g} \cdot \sqrt{C_2} \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \left( C_1 + \frac{g}{2} + C_2 + \frac{g}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (W_1 + W_2) = U_{\text{max}}$$

当且仅当 $C_1 = \frac{g}{2}$, $C_2 = \frac{g}{2}$ 时等号成立，即有 $C_1 = C_2 = \frac{W_1 + W_2}{4}$，且 $g = \frac{W_1 + W_2}{2}$。

此外，题目应该增加条件：$W_1$ 和 $W_2$ 不能差异过大，否则会出现 $C_1 > W_1$ 或 $g_1 > W_1$ 等情况，此时原解不成立，需特别计算。

(2) 搭便车问题

对于 $i=1$，有：

$$\max_{g_1, C_1} \sqrt{g_1 + g_2} \cdot \sqrt{C_1} \quad \text{s.t.} \quad W_1 = g_1 + C_1$$

对于 $i=2$，有：

$$\max_{g_2, C_2} \sqrt{g_1 + g_2} \cdot \sqrt{C_2} \quad \text{s.t.} \quad W_2 = g_2 + C_2$$

解得：

$$\left\{ \begin{aligned} g_1(g_2) &= \frac{W_1 - g_2}{2}, \\ C_1(g_2) &= \frac{W_1 + g_2}{2}, \end{aligned} \right. \qquad \left\{ \begin{aligned} g_2(g_1) &= \frac{W_2 - g_1}{2}, \\ C_2(g_1) &= \frac{W_2 + g_1}{2}. \end{aligned} \right.$$

此时有 $g_1 + g_2 = \frac{1}{3}(W_1 + W_2)$，回代联立，解得：

$$C_1 = C_2 = \frac{W_1 + W_2}{3}, \quad g_1 = \frac{2W_1 - W_2}{3}, \quad g_2 = \frac{2W_2 - W_1}{3}.$$

此时：

$$U_1 + U_2 = \frac{2}{3}(W_1 + W_2) < \frac{\sqrt{2}}{2}(W_1 + W_2).$$

通过比较两种机制的结果可以看出，集中决策下的总效用更高，而独立决策由于公共品的正外部性，会产生搭便车效应，公共物品供给量较低，导致总效用较小。因此，集中决策（如通过税收的方式来强制提供公共物品）能够更有效地提高社会福利。

此外，题目应该增加条件 $2W_1 > W_2$ 以及 $2W_2 > W_1$，否则需要考虑这些情况，会给出不同的解：
若 $W_2 > 2W_1$，则 $g_1 = 0, \, g = g_2 = \frac{W_2}{2}, \, C_1 = W_1, \, C_2 = \frac{W_2}{2}$。
此时

$$U_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} W_1 + \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}} W_2,$$

证明

$$\frac{\sqrt{2}}{2} W_1 + \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}} W_2 < \frac{\sqrt{2}}{2} (W_1 + W_2)$$

只需证明

$$W_1 + \frac{\sqrt{2} - 1}{2} W_2 > \sqrt{\frac{W_1 W_2}{2}}.$$

由均值不等式可知：

$$\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{2} W_1 W_2} \geq \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{2}} W_1 W_2 > \sqrt{\frac{W_1 W_2}{2}}.$$

故

$$\frac{\sqrt{2}}{2} W_1 + \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}} W_2 < \frac{\sqrt{2}}{2} (W_1 + W_2).$$

若 $W_2 < \frac{1}{2} W_1$，则 $g_2 = 0, \, g = g_1 = \frac{W_1}{2}, \, C_2 = W_2, \, C_1 = \frac{W_1}{2}$。
此时

$$U_2 = \frac{\sqrt{2}}{2} W_2 + \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}} W_1,$$

同理可得

$$U_2 < \frac{\sqrt{2}}{2} (W_1 + W_2).$$

(3) 问题的进一步分析

对 $i=1,2$ 有：

$$\max_{C_i, g_i} \sqrt{t(W_1 + W_2) + g_1 + g_2} \cdot \sqrt{C_i} \quad \text{s.t.} \quad C_i + g_i = (1 - t)W_i.$$

解得：

$$\left\{ \begin{aligned} g_i(g_j) &= \frac{(1 - t)W_i - t(W_i + W_j) - g_j}{2}, \\ C_i(g_j) &= \frac{(1 - t)W_i + t(W_i + W_j) + g_j}{2}, \end{aligned} \right. \quad i,j \in \{1, 2\}.$$

此时，若不考虑 $t$ 范围，有：

$$g_1 + g_2 = \left(\frac{1}{3} - t \right)(W_1 + W_2),$$

因此代入解出 $C_1 = C_2 = \frac{1}{3}(W_1 + W_2)$。

这说明：

(i) 若 $t < \frac{1}{3}$，则 $g_1 + g_2 = \left(\frac{1}{3} - t \right)(W_1 + W_2)$。此时 $g = g_1 + g_2 + t(W_1 + W_2)$，与（2）题相无差别。

(ii) 若 $t \geq \frac{1}{3}$，则 $g_1 = g_2 = 0$，$C_1 = (1 - t)W_1$，$C_2 = (1 - t)W_2$。有：

$$\frac{U_1 + U_2}{\sqrt{W_1 + W_2}} = \sqrt{t(1 - t)W_1} + \sqrt{t(1 - t)W_2} = (\sqrt{W_1} + \sqrt{W_2}) \sqrt{t(1 - t)} \le \frac{1}{2}(\sqrt{W_1} + \sqrt{W_2}),$$

且 $t^* = \frac{1}{2}$。

因此，$t = \frac{1}{2}$ 时，效用最大，效用和为：

$$U_1 + U_2 = \frac{1}{2}(\sqrt{W_1} + \sqrt{W_2}) \sqrt{W_1 + W_2}.$$

注：作为一道5分的题目，也可以利用经济学意义来解题：既然个人独立决策会导致搭便车现象，那就让个人财富完全用于个人消费，收税用来购买公共品，即直接令$t=\frac{1}{2}$，不难验证成立。并且当收税更多时一定不成立，当收税少时，每个人都会希望单独的最大化自己的收益，仍然会产生搭便车现象，达不到社会最优。

三、(15 分)双寡头市场，企业 1 和企业 2，需求函数 $P(q_1, q_2) = 1 - q_1 - q_2$，$q_1$ 和 $q_2$ 分别为企业 1、2 的产量。为简化问题，假设生产成本为 0。需求函数和各自成本为公共知识，各自决策变量为 $q_1$ 和 $q_2$。

1. (5 分) 假设为斯塔克尔伯格模型，企业 1 为领导型，企业 2 为追随型，求均衡 $q_1^*, q_2^*$。

2. (10 分) 假设为古诺模型，即两家同时决策，不过与经典模型不同的是，企业 1 准备聘请职业经理人，工资与产量挂钩，假设现在企业 1 的目标函数转变为 $\pi_1(q_1, q_2) + \eta \times q_1 - w = (1 - q_1 - q_2) \times q_1 + \eta \times q_1 - w$，其中 $\eta, w$ 为共同知识，现在企业 1 通过选择 $q_1$ 最大化目标函数，企业 2 的目标函数为 $\pi_2(q_1, q_2) = (1 - q_1 - q_2) \times q_2$。企业 2 通过选择产量 $q_2$ 来最大化目标函数，求该假设下，企业 1 和企业 2 的均衡产量（表达为 $\eta$ 的函数即可）。

Solution：

(1) 斯塔克尔伯格均衡

首先看企业 2 的利润函数：

$$\pi_2(q_1, q_2) = P(q_1, q_2) \cdot q_2 = (1 - q_1 - q_2) \cdot q_2$$

对 $q_2$ 求导，得到利润最大化的一阶条件：

$$\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 1 - q_1 - 2q_2 = 0$$

解得企业 2 的反应函数：

$$q_2 = \frac{1 - q_1}{2}$$

企业 1 知道企业 2 的反应函数 $q_2 = \frac{1 - q_1}{2}$，并将其代入企业 1 的利润函数：

$$\pi_1(q_1, q_2) = (1 - q_1 - q_2) \cdot q_1 = \left( \frac{1 - q_1}{2} \right) \cdot q_1$$

化简后：

$$\pi_1(q_1) = \frac{q_1(1 - q_1)}{2}$$

对 $q_1$ 求导，得到利润最大化的一阶条件：

$$\frac{d\pi_1}{dq_1} = \frac{1 - 2q_1}{2} = 0$$

解得：$q_1^* = \frac{1}{2}$。

此时再将 $q_1^* = \frac{1}{2}$代入企业 2 的反应函数：

$$q_2^* = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$$

因此，在斯塔克尔伯格均衡下，企业 1 选择的最优产量为：$q_1^* = \frac{1}{2}$，企业 2 选择的最优产量为：$q_2^* = \frac{1}{4}$。

(2) 古诺模型

企业 2 的利润函数为：

$$\pi_2(q_1, q_2) = (1 - q_1 - q_2) \cdot q_2$$

对$q_2$ 求导，得到利润最大化的一阶条件：

$$\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 1 - q_1 - 2q_2 = 0$$

解得企业 2 的反应函数：

$$q_2 = \frac{1 - q_1}{2}$$

企业 1 的目标函数为：

$$\pi_1(q_1, q_2) = (1 - q_1 - q_2) \cdot q_1 + \eta \cdot q_1 - w$$

对$q_1$ 求导，得到利润最大化的一阶条件：

$$\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = 1 - 2q_1 - q_2 + \eta = 0$$

得到企业 1 的反应函数：

$$q_1 = \frac{1}{2} \left( 1 - q_2 - \eta \right)$$

联立企业 1 和企业 2 的反应函数，解得在古诺模型均衡下，企业 1 和企业 2 的均衡产量为：

$$q_1^* = \frac{1 + 2\eta}{3}, \quad q_2^* = \frac{1 - \eta}{3}.$$

当然，此时还需要考虑角点解，因此完整答案如下：

• 若$\eta>1$，$q_1^* = \frac{1 + \eta}{2},q_2=0$
• 若$-\frac{1}{2}\leq \eta \leq 1$,$q_1^* = \frac{1 + 2\eta}{3}, \quad q_2^* = \frac{1 - \eta}{3}$
• 若$\eta<-\frac{1}{2}$,$q_1^* = 0,q_2=\frac{1}{2}$
  

四、(20 分)双寡头市场，企业 1 和企业 2，需求函数 $P(q_1, q_2) = 9 - q_1 - q_2$，$q_1, q_2$ 分别为企业 1、2 的产量。假设边际生产成本为 $C_1$ 和 $C_2$。需求函数和各自成本为共同知识，各自决策变量为 $q_1$ 和 $q_2$。

1. (5 分) 假设为古诺模型，且边际成本 $C_1 = C_2 = 3$，求均衡产量。

2. (5 分) 假设企业 1 可以通过研发改善经营绩效，具体而言，企业 1 可以通过一次性的投入 $f = 11$，使 $C_1 = 0$，如果企业 1 不投入研发，则 $C_1$ 仍为 3。关于企业 2 的假设不变，$C_2 = 3$。在该问题中，企业 2 在观察企业 1 是否投入后再与其进行同时定产，假设该博弈结构为共同知识，求该假设条件下，纯策略子博弈完美均衡。注意企业 1 决策包含是否投入研发和产量两方面。

3. (10 分) 假设企业 1 是否投入研发与两家企业的产量选择为同时决策，其他题设与 (2) 一致，注意与 (2) 的关键区别在于在同时决策的假定条件下，企业 2 选择产量时不再能观测到企业 1 是否研发。求该假设条件下的纯策略纳什均衡。

Solution：

(1) 古诺模型均衡

企业的利润函数为：

$$\pi_1(q_1, q_2) = (6 - q_1 - q_2) q_1, \quad \pi_2(q_1, q_2) = (6 - q_1 - q_2) q_2.$$

企业 1 的利润最大化一阶条件为：

$$\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = 6 - 2q_1 - q_2 = 0$$

解得企业 1 的反应函数：

$$q_1 = \frac{6 - q_2}{2}$$

同理，企业 2 的利润最大化一阶条件为：

$$\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 6 - q_1 - 2q_2 = 0$$

解得企业 2 的反应函数：

$$q_2 = \frac{6 - q_1}{2}$$

联立求解，得到在古诺均衡下，企业 1 和企业 2 的均衡产量分别为：

$$q_1^* = q_2^* = 2.$$

(2) 不研发时的利润

不研发时，$q_1 = 2$, $q_2 = 2$。此时企业 1 和企业 2 的利润为：

$$\pi_1 = 4, \quad \pi_2 = 4.$$

进行研发时的利润

企业 1 的利润函数为：

$$\pi_1 = (9 - q_1 - q_2) \cdot q_1 - 11$$

对 $q_1$ 求导，得到反应函数：

$$q_1 = \frac{9 - q_2}{2}$$

企业 2 的反应函数为：

$$q_2 = \frac{6 - q_1}{2}$$

联立解得：

$$q_1 = 4, \quad q_2 = 1$$

此时企业 1 和企业 2 的利润为：

$$\pi_1 = 5, \quad \pi_2 = 1$$

因此，企业 1 会选择进行研发，均衡产量为 $q_1 = 4$，$q_2 = 1$。

(3) 纳什均衡分析

根据第 (2) 问，存在两个可能的均衡点：

$$X_1 = \left\{ \left( q_1 = 2, \text{不研发} \right), q_2 = 2 \right\}, \quad X_2 = \left\{ \left( q_1 = 4, \text{研发} \right), q_2 = 1 \right\}.$$

我们只需分析，在第 (3) 问的条件下，$X_1$ 和 $X_2$ 是否为纳什均衡，实际上只需看厂商 1 是否可以通过更改其是否研发而得到更高的收益。

先看 $X_1$，当 $q_2 = 2$ 时，如果厂商 1 改为研发，此时反应函数是：

$$q_1 = \frac{9 - q_2}{2} = \frac{7}{2}$$

利润为：

$$\pi_1 = (9 - q_1 - q_2) q_1 - 11 = 1.25$$

小于 $4$，因此 $X_1$ 是一个纯策略纳什均衡。

再看 $X_2$，当 $q_2 = 1$ 时，如果厂商 1 改为不研发，此时反应函数是：

$$q_1 = \frac{6 - q_2}{2} = \frac{5}{2}$$

利润为：

$$\pi_1 = (6 - q_1 - q_2) q_1 = 6.25$$

大于 $5$，因此 $X_2$ 不是一个纯策略纳什均衡。

综上所述，$X_1 = \left\{ \left( q_1 = 2, \text{不研发} \right), q_2 = 2 \right\}$ 为纯策略纳什均衡。