北京大学-431金融学综合-2023年

2023统计部分真题

一、(15分) 设 X∼N(0,1)X\sim N(0,1), 求 E[X3∣X≥0]E[X^3|X\ge 0].

二、(20 分) 某品牌商发起调查, 调查购买某商品的比率 pp. 现在他准备调查 nn 个顾客(nn较大), 如果购买了该商品则纪录为 xi=1x_i=1, 否则 xi=0x_i=0.

(1)(8分) 给定置信水平 90%90\%, 给出 pp 的置信区间.
(2)(12分) 保持置信水平 90%90\%不变, 如果希望置信区间无论如何不超过 1%1\%, 问需要多少样本量?

三、(20 分) 设有两组独立样本: x1,⋯ ,xnx_1,\cdots,x_n 来自 N(μ1,σ12)N(\mu_1,\sigma_1^2), y1,⋯ ,ymy_1,\cdots,y_m 来自 N(μ2,σ22)N(\mu_2,\sigma_2^2). 现 σ1,σ2\sigma_1,\sigma_2 已知, μ1,μ2\mu_1,\mu_2 未知, 两组之间样本也独立, 记 θ=μ1−μ2\theta = \mu_1-\mu_2.
(1)(5 分) 求 θ\theta 的最大似然估计 θ^\hat{\theta}.
(2)(5 分) 若 N=n+mN=n+m 是固定的, 想使 θ^\hat{\theta} 的均方误差最小, 如何设定 nn 和 mm?
(3)(5 分) 延续第 (2) 问, 考虑假设检验问题

H0:θ=0vsH1:θ≠0H_0: \theta=0\quad \mathrm{vs} \quad H_1: \theta \neq 0

给出显著性水平为 α\alpha 时的拒绝域.

四、(20分) 设有线性模型

Y=Xβ+ε,Y= X \beta + \varepsilon,

其中 Yn×1Y_{n\times1} 是被解释变量, Xn×pX_{n\times p}是秩为 pp 的解释变量, βp×1\beta_{p\times 1} 是待估参数, εn×1\varepsilon_{n\times 1} 是误差项, 满足 E(ε∣X)=0E(\varepsilon|X)=0, Var(ε∣X)=V(X)Var(\varepsilon|X)=V(X), 其中 V(X)V(X) 正定.
(1)(5分) 求最小二乘估计 β^\hat{\beta} 的方差. (假设XX给定)
(2)(10分) 把 XβX\beta 分块为

Xβ=(X1,X2)(β1β2)=X1β1+X2β2,X\beta =\left( X_1,X_2 \right) \left( \begin{array}{c} \beta _1\\ \beta _2\\ \end{array} \right) =X_1\beta _1+X_2\beta _2,

试求 β2\beta_2的 最小二乘估计 β^2\hat{\beta}_2.
(3)(5分) 设 V(X)=InV(X)=I_n 单位矩阵, 求 Var(β^2)Var(\hat{\beta}_2). (假设XX给定)

2023微观部分真题

一、（20 分）两期决策问题，时间记为 t=1,2t = 1, 2，初始财富为 WW，分配给第一期消费 C1C_1 和储蓄 SS，第二期消费来自上一期储蓄所得，C2=RSC_2 = RS，这里储蓄收益率为 RR，为确定性常数，R=μ>1R = \mu > 1，决策人在每一期的效用函数为 −1C1−βC2-\frac{1}{C_1} - \frac{\beta}{C_2}，0<β<10 < \beta < 1，其中 β\beta 为贴现率。

  1. (5 分) 求第一期的最优消费 C1C_1 和储蓄 SS 表达式，当储蓄收益率上升时，储蓄 SS 如何变化？

  2. (10 分) 假设储蓄收益率 RR 有一定风险，即 RR 是分布在 [μ−ϵ,μ+ϵ][\mu - \epsilon, \mu + \epsilon] 的均匀分布，其中 0<ϵ<μ0 < \epsilon < \mu，在作决策时，决策人不知道 RR 具体取多少，决策人的目标是最大化两期的预期效用和 −1C1−E(βC2)-\frac{1}{C_1} - E\left(\frac{\beta}{C_2}\right)，其中 EE 表示对不确定因素求期望，求第一期的最优消费 C1C_1 和储蓄 SS 表达式。

  3. (5 分) 比较 (1) 和 (2) 中的储蓄 SS，哪个更高？当 (2) 中 ϵ\epsilon 上升，储蓄 SS 如何变化？

二、（20 分）两个消费者，分别编号为 i=1,2i = 1, 2，效用函数分别为 U1=gC1U_1 = \sqrt{gC_1}，U2=gC2U_2 = \sqrt{gC_2}，两人各自财富为 WiW_i，分配到公共品消费 gig_i 和私人消费 CiC_i，Wi=gi+CiW_i = g_i + C_i，每个人获得的公共品消费 g=g1+g2g = g_1 + g_2。

  1. (5 分) 假设有政府可以获得两人的财富，并由政府直接决定 gig_i 和 CiC_i，目标是最大化两人效用之和 gC1+gC2\sqrt{gC_1} + \sqrt{gC_2}，求最优的公共品消费和私人消费，并求最优效用和。

  2. (10 分) 假设每人独立决策，同时决定各自的私人消费和公共品消费，且不知道对方的决策，求总的公共品消费 gg 和每人的私人消费 CiC_i。比较此时的效用 (1) 中的最优效用和，哪个更高？为什么？

  3. (5 分) 假设政府对两人财富课税，税率为 tt，政府所得 t(W1+W2)t(W_1 + W_2) 投入公共品， 两人各自对剩下的财富 (1−t)Wi(1-t)W_i 独立决策，此时 g=t(W1+W2)+g1+g2g = t(W_1 + W_2) + g_1 + g_2，求 tt 为多少时，效用和最大。

三、(15 分)双寡头市场，企业 1 和企业 2，需求函数 P(q1,q2)=1−q1−q2P(q_1, q_2) = 1 - q_1 - q_2，q1q_1 和 q2q_2 分别为企业 1、2 的产量。为简化问题，假设生产成本为 0。需求函数和各自成本为公共知识，各自决策变量为 q1q_1 和 q2q_2。

  1. (5 分) 假设为斯塔克尔伯格模型，企业 1 为领导型，企业 2 为追随型，求均衡 q1∗,q2∗q_1^*, q_2^*。

  2. (10 分) 假设为古诺模型，即两家同时决策，不过与经典模型不同的是，企业 1 准备聘请职业经理人，工资与产量挂钩，假设现在企业 1 的目标函数转变为 π1(q1,q2)+η×q1−w=(1−q1−q2)×q1+η×q1−w\pi_1(q_1, q_2) + \eta \times q_1 - w = (1 - q_1 - q_2) \times q_1 + \eta \times q_1 - w，其中 η,w\eta, w 为共同知识，现在企业 1 通过选择 q1q_1 最大化目标函数，企业 2 的目标函数为 π2(q1,q2)=(1−q1−q2)×q2\pi_2(q_1, q_2) = (1 - q_1 - q_2) \times q_2。企业 2 通过选择产量 q2q_2 来最大化目标函数，求该假设下，企业 1 和企业 2 的均衡产量（表达为 η\eta 的函数即可）。

四、(20 分)双寡头市场，企业 1 和企业 2，需求函数 P(q1,q2)=9−q1−q2P(q_1, q_2) = 9 - q_1 - q_2，q1,q2q_1, q_2 分别为企业 1、2 的产量。假设边际生产成本为 C1C_1 和 C2C_2。需求函数和各自成本为共同知识，各自决策变量为 q1q_1 和 q2q_2。

  1. (5 分) 假设为古诺模型，且边际成本 C1=C2=3C_1 = C_2 = 3，求均衡产量。

  2. (5 分) 假设企业 1 可以通过研发改善经营绩效，具体而言，企业 1 可以通过一次性的投入 f=11f = 11，使 C1=0C_1 = 0，如果企业 1 不投入研发，则 C1C_1 仍为 3。关于企业 2 的假设不变，C2=3C_2 = 3。在该问题中，企业 2 在观察企业 1 是否投入后再与其进行同时定产，假设该博弈结构为共同知识，求该假设条件下，纯策略子博弈完美均衡。注意企业 1 决策包含是否投入研发和产量两方面。

  3. (10 分) 假设企业 1 是否投入研发与两家企业的产量选择为同时决策，其他题设与 (2) 一致，注意与 (2) 的关键区别在于在同时决策的假定条件下，企业 2 选择产量时不再能观测到企业 1 是否研发。求该假设条件下的纯策略纳什均衡。