北京大学光华-431金融学统计-2023年

一、(15分) 设 $X\sim N(0,1)$, 求 $E[X^3|X\ge 0]$.

二、(20 分) 某品牌商发起调查, 调查购买某商品的比率 $p$. 现在他准备调查 $n$ 个顾客($n$较大), 如果购买了该商品则纪录为 $x_i=1$, 否则 $x_i=0$.
(1)(8分) 给定置信水平 $90\%$, 给出 $p$ 的置信区间.
(2)(12分) 保持置信水平 $90\%$不变, 如果希望置信区间无论如何不超过 $1\%$, 问需要多少样本量?

三、(20 分) 设有两组独立样本: $x_1,\cdots,x_n$ 来自 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$, $y_1,\cdots,y_m$ 来自 $N(\mu_2,\sigma_2^2)$. 现 $\sigma_1,\sigma_2$ 已知, $\mu_1,\mu_2$ 未知, 两组之间样本也独立, 记 $\theta = \mu_1-\mu_2$.
(1)(5 分) 求 $\theta$ 的最大似然估计 $\hat{\theta}$.
(2)(5 分) 若 $N=n+m$ 是固定的, 想使 $\hat{\theta}$ 的均方误差最小, 如何设定 $n$ 和 $m$?
(3)(5 分) 延续第 (2) 问, 考虑假设检验问题

$H_0: \theta=0\quad \mathrm{vs} \quad H_1: \theta \neq 0$

给出显著性水平为 $\alpha$ 时的拒绝域.

四、(20分) 设有线性模型

$Y= X \beta + \varepsilon,$

其中 $Y_{n\times1}$ 是被解释变量, $X_{n\times p}$是秩为 $p$ 的解释变量, $\beta_{p\times 1}$ 是待估参数, $\varepsilon_{n\times 1}$ 是误差项, 满足 $E(\varepsilon|X)=0$, $Var(\varepsilon|X)=V(X)$, 其中 $V(X)$ 正定.
(1)(5分) 求最小二乘估计 $\hat{\beta}$ 的方差. (假设$X$给定)
(2)(10分) 把 $X\beta$ 分块为

$X\beta =\left( X_1,X_2 \right) \left( \begin{array}{c} \beta _1\\ \beta _2\\ \end{array} \right) =X_1\beta _1+X_2\beta _2,$

试求 $\beta_2$的 最小二乘估计 $\hat{\beta}_2$.
(3)(5分) 设 $V(X)=I_n$ 单位矩阵, 求 $Var(\hat{\beta}_2)$. (假设$X$给定)