中国科学技术大学-432统计学-2022年

一、填空与选择题（35分）

  1. (5分) 一个醉汉走在路上，往左走两步就撞了南墙，往右走三步就会撞北墙。因为喝得太多，醉汉向左向右走的概率相同都是 0.5，则醉汉撞到南墙的概率是 ‾\underline{\qquad}.

  1. (10分) 张先生问李先生：“您家有几个孩子？” 李先生：“两个。” 若张先生问：“大的是男孩子吗？” 李先生回答：“是的。” 则李先生的小孩子也是男孩的概率为‾\underline{\qquad}. 若张先生问：“有男孩子吗？” 李先生回答：“有的。” 则这种情况下李先生的小孩子是男孩子的概率为 ‾\underline{\qquad}.

  1. (5分) 请问下列随机变量密度函数相互独立的是：
    A. 6x2y36 x^2 y^3;
    B. 4(x3y+xy3)4(x^3y+xy^3);
    C. 6e−3x−2y6e^{-3x-2y};
    D. 以上均无法判断

  1. (10分) 甲乙玩剪刀石头布的游戏，胜利得1分，失败得-1分，平局得0分，现在甲出剪刀石头布的概率分别为(1/4, 3/8, 3/8), 乙出剪刀石头布的概率分别为(3/8, 1/4, 3/8), 问每场比赛甲的平均得分是 ‾\underline{\qquad}。若乙调整策略，出剪刀石头布的概率均为1/3，问此时每场比赛甲的平均得分是‾\underline{\qquad} 。

  1. (5分) 根据样本已经得到了 θ\theta 的 95%95\% 置信区间 (θ^1,θ^2)(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2), 正确的是( ).
    A. 该区间以 95%95 \% 的概率包含真值
    B. 参数 θ\theta 在该区间内的概率为 95%95 \%
    C. 该区间有 95%95 \% 的可能性包含参数 θ\theta
    D. 参数 θ\theta 或者在 (θ^1,θ^2)(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2) 内, 或者不在 (θ^1,θ^2)(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2) 内

二、计算与分析题

  1. (25分) X∼N(0,1)X\sim N(0,1), Y∼B(1,12)Y\sim B(1,\frac{1}{2}), 它们独立, 定义 Z=X(2Y−1)Z=X(2Y-1).
    (1)(7分) 求 ZZ 的分布;
    (2)(8分) 求 Corr(X,Z)(X,Z);
    (3)(8分) X,ZX,Z 独立吗?

  1. (20分) 设X1,X2,⋯X_1,X_2,\cdots是i.i.d.连续型非负随机变量(如跳远成绩), 记

Ak={Xk=max⁡{X1,⋯ ,Xk}}A_k = \{X_k = \max\{X_1,\cdots,X_k\}\}

为一个记录发生. 求:
(1) (8分) P(Ak)P(A_k);
(2) (12分) Var(∑k=1nIAk)Var(\sum_{k=1}^n I_{A_k}).


  1. (20分) 设 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n 是 i.i.d. 的 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2) 的随机样本, 其中 μ,σ2\mu,\sigma^2 是未知参数.
    (1) (10分) 样本标准差是总体标准差无偏估计吗?
    (2) (10分) xˉ2\bar{x}^2 是 μ2\mu^2 的无偏估计吗? 若不是, 给出 μ2\mu^2 的一个无偏估计.

  1. (30分) 为调查某商品在商场货架上的滞留时间，随机调查9个样本的滞留时间 X1,⋯ ,X9X_1,\cdots,X_9, 其中计算得到 xˉ=131\bar{x}=131, 假设总体 X∼N(μ,9)X\sim N(\mu,9). u0.95=1.645u_{0.95}=1.645.
    (1)(10分) 检验 H0:μ≤130H_0:\mu \le 130, 备择假设是其对立, α=0.05\alpha = 0.05.
    (2)(10分) 若 μ=131\mu = 131, 样本量改为 nn, 求犯第二类错误的概率 β\beta, 并指出: 想要 β≤0.05\beta\le 0.05, 我们应该需要多少样本.
    (3)(10分) 求 θ=P(X≤130)\theta = P(X\le 130) 的 MLE, 并给出 95% 置信下限.

  1. (20分) 有线性模型

Yi=b∣xi−3∣+εi,i=1,2,⋯ ,n,Y_i = b|x_i-3|+\varepsilon_i,\quad i =1,2,\cdots,n,

(1)(10分) 若欲用最小二乘法求 bb 的估计, ε\varepsilon 需要满足什么要求?
(2)(10分) 已知 (x,y)(x,y) 的三个数据点 (3,1)(3,1), (4,3)(4,3), (2,2)(2,2), 求 bb 的最小二乘估计.