中国科学技术大学-812概率论与数理统计-2022年

一、(15分) 构造一个二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合p.d.f, 使得 $X$ 的边际密度函数为

$f_X\left( x \right) =\frac{2}{\pi \left( b^2-a^2 \right)}\left[ \sqrt{\left( b^2-x^2 \right) _+}-\sqrt{\left( a^2-x^2 \right) _+} \right]$

其中 $\left( \cdot \right) _+$ 表示 $\cdot$ 的正部.

二、(20分) 现有$I^+,I^-$两种信号, 向后依次传播, 传播出错的概率是 $p$. 设初始信号为 $I^+$, 求

(1) 传播两次后, 信号还是 $I^+$ 的概率;

(2) 传播 $n$ 次后, 信号是 $I^-$ 的概率.

三、(15分) $(X,Y)$ 有联合密度函数

$f\left( x,y \right) =\frac{2}{\left( n+1 \right) !}\left( 2y+x \right) ^ne^{-2y-x},x>0,y>0$

设 $U = 2Y+X,V=3X+8Y$.

(1) 求 $(U,V)$ 的联合分布以及 $U$ 的边缘分布;

(2) 求 $V\mid U=u$ 的条件分布;

(3) 求 $E(X\mid U = u)$ 以及$E(Y\mid U = u)$.

四、(20分) $X,Y,Z,W,V,Q$ 服从独立标准正态分布, 求 $T=\frac{\left( XW+YV+ZQ \right) ^2}{W^2+V^2+Q^2}$ 的分布.

五、(15分) 已知 $X_n\rightarrow _pX$, 试证 $X_{n}^{2}\rightarrow _pX^2$.

六、(30分) $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自泊松分布总体 $\mathcal{P}\left( \theta \right)$ 的简单随机样本. 以 $T_n=\left( 1-\frac{1}{n} \right) ^{\sum_{i=1}^n{X_i}}$ 作为 $e^{-\theta}$ 的估计. 试问

(1) $T_n$ 是否是无偏估计?

(2) $T_n$ 是否是UMVUE?

(3) $T_n$ 是否是有效估计?

七、(10分) 现有正态分布 $\mathcal{N}\left( \mu ,1 \right)$ 的 $n$ 个样本 $x_1,x_2,\cdots,x_n$, 取值小于 $0$ 时记为 $1$, 否则记为 $0$, 求 $\mu$ 的MLE.

八、(25分) 回归结果解读.