南开大学-432统计学-2022年

一、选择题 (每题 4 分, 共 28 分)

1. 关于经验分布函数 $F_{n}(x)$, 说法错误的是 ( )

(a) 它是分布函数
(b) 它是 $x$ 的连续函数
(c) 它是随机变量
(d) 它依概率收敛于分布函数

2. $X$ 的密度函数是 $f(x)$, 则 $Y=-X$ 的密度函数是 ( )

(a) $f(y)$
(b) $1-f(y)$
(c) $f(-y)$
(d) $-f(-y)$

3. 袋中有黑球 $2 n$ 个, 白球 $2 n-1$ 个, 现摸 $n$ 个球, 已知摸到的球都是一个颜色, 求摸到的是黑球 的概率 ( )

(a) $\frac{2}{3}$
(b) $\frac{C_{2 n}^{n}}{C_{4 n-1}^{n}}$
(c) $\frac{1}{3}$
(d) $1-\frac{C_{2 n}^{n}}{C_{4 n-1}^{n}}$

4. 设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>1)$ 独立同分布, 且其方差为 $\sigma^{2}>0$, 令 $Y=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$, 则下述结论正确的是( )

(A) $\operatorname{Cov}\left(X_{1}, Y\right)=\frac{\sigma^{2}}{n}$
(B) $\operatorname{Cov}\left(X_{1}, Y\right)=\sigma^{2}$
(c) $\operatorname{Var}\left(X_{1}+Y\right)=\frac{n+2}{n} \sigma^{2}$;
(D) $\operatorname{Var}\left(X_{1}-Y\right)=\frac{n+1}{n} \sigma^{2}$.

5. $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 是 i.i.d. 是 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 随机样本, 定义

$$S_{1}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, S_{2}^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, S_{3}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}, S_{4}^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2},$$

则下列服从 $t(n-1)$ 的是 ( )

(a) $\frac{\bar{X}-\mu}{S_{1} / \sqrt{n-1}}$
(b) $\frac{\bar{X}-\mu}{S_{2} / \sqrt{n-1}}$
(c) $\frac{\bar{X}-\mu}{S_{3} / \sqrt{n-1}}$
(d) $\frac{\bar{X}-\mu}{S_{4} / \sqrt{n-1}}$

6. $X_{n}$ 依概率收敛于 $X, Y_{n}$ 按分布收敛于 $c$, 下列错误的是 ( )

(a) $X_{n} Y_{n}$ 依概率收敛于 $c X$
(b) $g(x)$ 是实值函数, 则 $g\left(X_{n}\right)$ 依概率收敛于 $g(X)$
(c) $X_{n} / Y_{n}$ 按分布收敛于 $X / c, c \neq 0$
(d) $a_{n} \rightarrow a, b_{n} \rightarrow b$, 则 $a_{n} X_{n}+b_{n}$ 按分布收敛于 $a X+b$

7. 下列哪个总体的样本之和不是参数的充分统计量 ( )

(a) 正态
(b) 泊松
(c) 指数
(d) 均匀

二、填空题(每题4分, 共32分)

1. $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的特征函数是________.

2. 有 $n$ 封信, 对应 $n$ 个信封, 现随机进行配对, 配对成功的信封数的期望是________.

3. $P(A)=0.3$, 且 $A, B$ 互不相容, $P(B)=0.4$, 则 $P(B \mid \bar{A})=$________.

4. $(X, Y)$ 服从由 $1<x<e^{2}$ 和 $0<y<\frac{1}{x}$ 围成区域上的均匀分布, 则 $f_{Y \mid X=3}(y)=$ ________.

5. 已知气温均值为 20 , 标准差为 2 , 某天天气气温大于 16 小于 24 的概率至少为________.

6. 已知 $X \sim B(1, p)$, 则 $p$ 的 Fisher 信息量是________.

7. 射击连射十次, 每次中的概率是 $0.6$, 设 $\mathrm{X}$ 是射中次数, 则 $E\left(X^{2}\right)=$________.

8. $X$ 服从泊松分布, 且 $P (X=2) = P (X=3)$, 则 $X$ 取偶数的概率是________.

三、解答题(90分)

1.(10分)设 $P(A)=\frac{1}{4}, P(B \mid A)=\frac{1}{3}, P(A \mid B)=\frac{1}{2}$, 令 $X=I_{A}, Y=I_{B}$, 求:

(1) 联合分布;

(2) 相关系数.

2.(10分) 某班级成员一星期迟到共计 50 次, 其中星期一 12 次, 星期二 11 次, 星期三 9 次, 星期四 10 次, 星期五 8 次. 问迟到是否与星期几有关?(注 : 记 $f_{\chi^{2}(n)}(x)$ 是卡方分布 $\chi^{2}(n)$ 的密度函数, 且 $\int_{0}^{9.48} f_{\chi^{2}(4)}(x) d x \approx 0.95, \int_{0}^{11.07} f_{\chi^{2}(5)}(x) d x \approx 0.95$)

3.(15分)设 $p \in(0,1), 0<\alpha<(1-p) / p$. 已知一个家庭有 $n$ 个小孩的概率是

$$p_{n}= \begin{cases}\alpha p^{n}, & n \geq 1, \\ 1-\alpha p /(1-p), & n=0 .\end{cases}$$

又设男婴和女婴的出生是等可能的. 回答:

(1) 求一个家庭有 $k$ 个男孩的概率;

(2) 已知某家庭 没有女孩, 求该家庭有 1 个男孩的概率.

4.(15分)设某电子产品的寿命服从如下分布:

$$F(x ; \alpha, \beta)=\left\{\begin{array}{ll} 1-e^{-\frac{x-\alpha}{\beta}}, & x \geq \alpha \\ 0, & x<\alpha \end{array}\right.$$

现测得$n$个该电子产品的寿命为$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n},$ 试求未知参数$\alpha, \beta$的矩估计和极大似然估计.

5.(10分)有一位市场调查员, 他感兴趣的是该地区成年人中购买某商品的比率 $\theta$. 现他要事先确定需要 访问多少顾客 (样本量 $n$ ) 才能使 $[\bar{x}-d, \bar{x}+d]$ 是 $\theta$ 的 $0.95$ 置信区间? 其中 $\bar{x}$ 是样本中购买 此种商品的顾客比例, $d$ 是事先给定的常数. 又假如事先知道 $\theta<\theta_{0}<\frac{1}{2}$, 会对其产生什么影 响?

6.(10分)有来自总体 $\mathcal{U}(0, \theta)$ 的简单随机样本 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$, 试求 $\theta$ 的 $1-\alpha$ 水平区间估计.

7.(10分)对于总体 $f(x)=\theta x^{\theta-1}, 0<x<1$ 的两个随机样本 $X_{1}, X_{2}$, 考虑假设检验问题:

$$H_{0}: \theta=1 \text { vs } H_{1}: \theta=2$$

对检验 $g\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left\{\begin{array}{ll}1, & x_{1} x_{2}>\frac{3}{4} \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$, 试求出其势函数以及两类错误的概率.

8.(10分)$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自期望为 $\theta$ 的指数分布总体的随机样本. 试求 $\theta$ 的 UMVUE.