清华大学-432统计学-2022年

一、(20分) $A, B$ 独立, $0<P(A)<1$, 找出 $A, B, A \cup B$ 相互独立的充要条件.

二、(20分) 一个试验若第 $n$ 次成功, 则第 $n+1$ 次成功的概率为 $\frac{1}{2}$, 若失败, 则下一次成功概率为 $\frac{1}{4}$, 初始 (第一次) 成功概率是 $\frac{1}{2}$. 求:

(1) 第 $n$ 次成功的概率;

(2) 首次成功时的次数的分布、期望、方差.

三、(60分) $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 是 i.i.d. 服从 $U(0, \theta)$ 的随机变量, 定义 $U_{n}(A)=X_{n}+A X_{1}, V_{n}(B)=X_{(n)}+B X_{(1)}$.

(1) 求 $A$ 使 $U_{n}(A)$ 无偏;

(2) 求 $B$ 使 $V_{n}(B)$ 无偏;

(3) 证明: 任意 $A, U_{n}$ 不相合;

(4) 证明: 任意 $B, V_{n}$ 弱相合;

(5) $U_{n}(-1)$ 与 $V_{n}(-1)$ 是否同分布?

(6) 当$\theta=1$, 记 $F_{n}(x)$ 是 $2 n\left[1-V_{n}(-1)\right]$ 的分 布函数, 求极限分布.

四、(15分) 简答题:
(1) p 值的定义;

(2) 接受原假设, 可能犯什么错误;

(3) 解释统计中的交叉验证, 说明用途.

五、(20分) 设 $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$. 考虑用 $T(X)=(-2)^{X}$ 估计 $\tau(\lambda)=e^{-3 \lambda}$. 证明它无偏, 并说明是否有不妥, 若有, 如何修正?

六、(15分)线性回归模型 $y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1} x_{i}+\varepsilon_{i}$, 其中 $\varepsilon_{i} \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)$, 其中 $\sum_{k=1}^{n} x_{k}=0$, 求:

(1) $\beta_{0}, \beta_{1}$ 的 $\mathrm{LSE}$ ;

(2)求 $\left(\beta_{0}, \beta_{1}\right)$ 联合 $1-\alpha$ 置信区间.