北京大学数院-431金融学综合-2022年

一、(5分) 季度名义利率6%, 求利息力


二、(15分) i=0.05,n=20i=0.05, n=20, 期末年金, 现金流分别为 100,110,⋯ ,200,200,⋯100,110, \cdots, 200,200, \cdots, 求现值.


三、(15分) 月名义 6%,306 \%, 30 年, 月初还款, L=100L=100 万, 第几次还款后末结余额首次小于 30 万元.


四、(15分) F=100,1−5F=100,1-5 年时 r=0.04,6−10r=0.04,6-10 年时 r=0.06,i=0.05r=0.06, i=0.05, 债券有 50%50 \% 可能在 5 年底赎 回, 也有 50%50 \% 可能在 10 年底赎回, 求 PP.


五、(10分) MM 人分组做核酸, 每组 nn 人, k=M/nk=M / n 是整数. 先将每组混合在一起进行检查, 若阳性则 对组中每个人进行检查. 设每个人是阳性的概率为 pp. 求:

(1) 某个人被测 2 次的概率;

(2) 某个 人被检测次数的期望, 求它关于 nn 及 pp 的单调关系.


六、(10分) NN 是只取非负整数的随机变量, 试证明: EN2=2∑n=0∞(n+12)P(N>n)E N^{2}=2 \sum_{n=0}^{\infty}\left(n+\frac{1}{2}\right) P(N>n).


七、(15分) f(x,y)=1/x,0<y<x<1f(x, y)=1 / x, 0<y<x<1.

(1) 验证为 pdf;

(2) 求 X,YX, Y 边际分布;

(3) 求两个条件分布函数.


八、(15分) R1,⋯ ,RnR_{1}, \cdots, R_{n} 是 i.i.d. 随机变量 (收益率), ER1=μ,Var⁡(R1)=σ2<+∞,1+Rt>0E R_{1}=\mu, \operatorname{Var}\left(R_{1}\right)=\sigma^{2}<+\infty, 1+R_{t}>0.

(1) 什么条件下, (∏t=1n(1+Rt))1n\left(\prod_{t=1}^{n}\left(1+R_{t}\right)\right)^{\frac{1}{n}} 几乎必然收敛;

(2) 当收敛时, 比较 (1) 中极限与 μ\mu 大小.


九、(15分) 正态总体 nn 样本方差已知, 求 μ3\mu^{3} 和 μ4\mu^{4} 的 UMVUE.


十、(10分) 有来自泊松总体 P(λ)\mathcal{P}(\lambda) 的 nn 个样本 x1,x2,⋯ ,xnx_1,x_2,\cdots,x_n, 对显著性水平 α,\alpha, 求检验问题 H0:λ≥1⟷H1:λ<1H_{0}: \lambda \geq 1 \longleftrightarrow H_{1}: \lambda<1 的一致最优检验.


十一、(10分) Logistic 回归, 设 logist⁡(p)=log⁡(p1−p)\operatorname{logist}(p)=\log \left(\frac{p}{1-p}\right). 有数据 (X1,Y1),⋯ ,(Xn,Yn)\left(X_{1}, Y_{1}\right), \cdots,\left(X_{n}, Y_{n}\right), 其中 Xi∈1×pX_{i} \in 1 \times p, Yi∈{0,1}Y_{i} \in\{0,1\}, 假设有 logist⁡(P(Yi=1∣Xi))=Xiβ\operatorname{logist}\left(P\left(Y_{i}=1 \mid X_{i}\right)\right)=X_{i} \beta, 其中 β∈p×1\beta \in p \times 1. 求:

(1) 对数似然函数 ln⁡L(β)\ln L(\beta);

(2) 当 p=1p=1, 说明 ln⁡L(β)\ln L(\beta) 是凹函数及其对求 β\beta 的 MLE 的意义.


十二、(15分) 考虑被解释变量 Y1,⋯ ,YnY_{1}, \cdots, Y_{n}, 解释变量 X1,⋯ ,Xn,Z1,⋯ ,ZnX_{1}, \cdots, X_{n}, Z_{1}, \cdots, Z_{n}, 其中 ZiZ_{i} 只有 R,BR, B 两种取 值. 有下述三种最小二乘回归结果, 注意考虑 ZiZ_{i} 时只探讨其对应的 0-1 变量 Ii=I{Zi=R}\left.I_{i}=I_\{Z_{i}=R\right\}.

回归表(i):

自变量 回归系数 标准误差 tt统计量 pp-value
intercept 56.0919 8.8197 6.5074 0.0000
II 0.9774 0.1660 5.8880 0.0000
模型检验 R2R^2 FF统计量 pp-value n
0.81 34.66 0.0000 32

回归表(ii):

自变量 回归系数 标准误差 tt统计量 pp-value
intercept 51.2146 7.61967 6.5074 0.0000
XX 1.2354 0.46604 2.6508 0.0012
模型检验 R2R^2 FF统计量 pp-value n
0.43 9.66 0.0023 32

回归表(iii):

自变量 回归系数 标准误差 tt统计量 pp-value
intercept 49.2146 9.61967 5.1160 0.0000
II 0.9574 0.06604 14.4972 0.0000
XX 0.9967 1.12211 0.8882 0.7209
模型检验 R2R^2 FF统计量 pp-value n
0.98 39.45 0.0000 32

(1) 在回归表 (i) 中, 求回归系数的表达式;

(2) 给出 R2R^{2} 的表达式, 解释其含义;

(3) 为什么三张 表中同一变量的回归系数不一致? 并说出是否有其他回归模型, 可以解释 Y,X,ZY, X, Z 之间的关系.