北京大学数院-431金融学综合-2022年
一、(5分) 季度名义利率6%, 求利息力
Solution: .
二、(15分) , 期末年金, 现金流分别为 , 求现值.
Solution: 最基本的贴现题型. 答案: .
三、(15分) 月名义 年, 月初还款, 万, 第几次还款后末结余额首次小于 30 万元.
Solution: , 令 , 解得 .
四、(15分) 年时 年时 , 债券有 可能在 5 年底赎 回, 也有 可能在 10 年底赎回, 求 .
Solution: 如果早赎, 则 ; 如果不早赎, 则 . 故 .
五、(10分) 人分组做核酸, 每组 人, 是整数. 先将每组混合在一起进行检查, 若阳性则 对组中每个人进行检查. 设每个人是阳性的概率为 . 求:
(1) 某个人被测 2 次的概率;
(2) 某个人被检测次数的期望, 求它关于 及 的单调关系.
Solution: (1) 某个人被测两次意味着他这一组有阳性, 对应的概率是 ;
(2) 某个人要么被检测一次(概率 ), 要么两次, 因此期望是
显然关于 单调递增, 而关于 单调递增.
六、(10分) 是只取非负整数的随机变量, 试证明: .
Solution:
七、(15分) .
(1) 验证为 pdf;
(2) 求 边际分布;
(3) 求两个条件分布函数.
Solution:
(1) 非负性显然. 直接积分, 有
(2) 求边际密度, 有
(3) 先求条件密度, 有
积分得到条件分布函数是
八、(15分) 是 i.i.d. 随机变量 (收益率), .
(1) 什么条件下, 几乎必然收敛;
(2) 当收敛时, 比较 (1) 中极限与 大小.
Solution:
(1) 记 . 由于 , 故存在 , 使得 , 故 . 因此 几乎必然收敛于 等价于 几乎 必然收敛于 , 而由强大数律, 这要求 存在, 即
此时, 有
(2) 用 Jensen 不等式. 有
因此我们有
九、(15分) 正态总体 样本方差已知, 求 和 的 UMVUE.
Solution:
注意到
我们有
因此由 Lehmann-Scheffé 定理可知 是 的 UMVUE.
类似地注意到
我们有 是 的 UMVUE.
十、(10分) 有来自泊松总体 的 个样本 , 对显著性水平 求检验问题 的一致最优检验.
Solution: 考虑简单假设 , 根据 引理, 似然比检验是其最 一致最大功效检验, 似然比为
可以看出该似然比关于统计量 是单调递减的, 所以原问题的一致 最大功效检验为 其中常数 使得 , 可以取
十一、(10分) 设有 logist 函数 . 有数据 , 其中 , , 假设有 , 其中 . 求:
(1) 对数似然函数 ;
(2) 当 , 说明 是凹函数(二阶导为负)及其对求 的 MLE 的意义.
Solution:
(1) 当给定 , 是两点分布, 的概率可由下式(代入logist函数)解出
即有
对应的概率质量函数是
考虑从 累乘的似然函数, 有
假设 的密度是 , 因此似然函数是
则对数似然函数为
(2) 当维度 , 化简上式, 得
而对任意 , 对 求二阶导发现为负, 故 的二阶导为负, 即凹函数. 由于似然函数复杂难以求解析解, 故只能求数值解, 而对于二阶导恒为负的函数而言, 如果找到了函数的驻点, 则该驻点一定是唯一驻点且是最大值点, 即 MLE. 这一事实确保了我们用数值算法求 logist 回归参数 MLE 时的有效性.
十二、(15分) 考虑被解释变量 , 解释变量 , 其中 只有 两种取 值. 有下述三种最小二乘回归结果, 注意考虑 时只探讨其对应的 0-1 变量 .
回归表(i):
自变量 | 回归系数 | 标准误差 | 统计量 | -value |
---|---|---|---|---|
intercept | 56.0919 | 8.8197 | 6.5074 | 0.0000 |
0.9774 | 0.1660 | 5.8880 | 0.0000 | |
模型检验 | 统计量 | -value | n | |
0.81 | 34.66 | 0.0000 | 32 |
回归表(ii):
自变量 | 回归系数 | 标准误差 | 统计量 | -value |
---|---|---|---|---|
intercept | 51.2146 | 7.61967 | 6.5074 | 0.0000 |
1.2354 | 0.46604 | 2.6508 | 0.0012 | |
模型检验 | 统计量 | -value | n | |
0.43 | 9.66 | 0.0023 | 32 |
回归表(iii):
自变量 | 回归系数 | 标准误差 | 统计量 | -value |
---|---|---|---|---|
intercept | 49.2146 | 9.61967 | 5.1160 | 0.0000 |
0.9574 | 0.06604 | 14.4972 | 0.0000 | |
0.9967 | 1.12211 | 0.8882 | 0.7209 | |
模型检验 | 统计量 | -value | n | |
0.98 | 39.45 | 0.0000 | 32 |
(1) 在回归表 (i) 中, 求回归系数的表达式;
(2) 给出 的表达式, 解释其含义;
(3) 为什么三张 表中同一变量的回归系数不一致? 并说出是否有其他回归模型, 可以解释 之间的关系.
Solution:
(1) 这是最小二乘回归结果, 因此有 ;
(2) , 表示回归模型的拟合优度, 拟合优度越大, 则解释变量对被解释变量的解释力度 越大;
(3) 如表 (i) 和表 (iii) 中的自变量 和常数 , 它们的回归系数不可能相同, 因为最小二乘的原 理导致了增加越多的解释变量将使得拟合优度 越大 ((i) 中的 到 (iii) 中的 0.98). 反过 来看, 如果增加变量后原先变量的回归系数是不变的, 那么只能加入新变量不会使得 增加, 但这与 (i) 中的 到 (iii) 中的 的事实不符.
我认为还可以增加模型 , 因为从回归表 (i), (ii) 来看, 和 对 都有解释能力 (模型显著), 但在表 (iii) 中 的回归系数不显著, 说明当我们用 联合对 作解释时 与 并不成立线性关系, 考虑 到 是 0-1 变量的事实, 故我认为可以采用.
此外, 还可以尝试例如: 等, 但尽量不改动已显著的变量 .