复旦大学-432统计学-2022年

一、(20分) 袋子里有: $a$红球, $a$黄球, $b$蓝球. 有放回摸3个球, 设$A=\{$抽出的求有黄球也有红球, 且红球比黄球先取出$\}$. 求:
(1)(10分) $P(A)$;
(2)(10分) 若$\{$没有摸到蓝球$\}$与$A$概率相同, 求$a:b$.

二、(10分) 离散型随机变量$X$的分布列是

$P(X=a)=P(X=b)=P(X=a+1)=\frac{1}{3},$

其中$a<b<a+1$. 求其方差的取值范围.

三、(20分) 离散型随机变量$X$只取$x,x+a$两个值, 其中$a>0$, 且$Var(X)=1$, 求$a$的取值范围及$X$的分布列.

四、(20分) 设有随机向量$\left( \begin{array}{c} X\\ Y\\ \end{array} \right)$, 已知它经过任意旋转变换后

$\left( \begin{matrix} \cos \alpha& \sin \alpha\\ -\sin \alpha& \cos \alpha\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c} X\\ Y\\ \end{array} \right)$

仍与$\left( \begin{array}{c} X\\ Y\\ \end{array} \right)$同分布, 试解决下述问题:

(1) 求$P(0<Y<X)$;

(2) 求$\frac{Y}{X}$的分布.

五、(20分) 已知$(X,Y)\sim N(0,0;1,1;\frac{1}{2})$, 求$P(X>0,Y>0)$.

六、(10分) $X_1,\cdots,X_n,\cdots$是i.i.d.的二阶矩存在随机变量, $Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$, 问: $\{\frac{Y_n}{n^2}\}$是否服从大数定律.

七、(10分) $X_1,\cdots,X_n$是i.i.d.服从$N(\mu,\sigma^2)$的随机变量, $F$是其分布函数, 求$-2\sum_{i=1}^n \ln F(X_i)$的分布.

八、(10分) $X_1,\cdots,X_6$是i.i.d.的$U(0,1)$随机变量, 求$Var(2X_{(2)}+3X_{(3)})$.

九、(10分) $X_1,X_2,X_3$i是i.i.d.的$U(0,\theta)$随机样本, 设$aX_{(1)},bX_{(3)}$是$\theta$的无偏估计, 求$a,b$并比较它们的何者更有效.

十、(10分) 设$X_1,\cdots,X_n$是i.i.d.的$N(\mu,16)$随机样本, $\mu$的先验分布是$N(a,b^2)$, 求后验分布.

十一、(10分) 设$X_1,\cdots,X_n$是i.i.d.的$U(0,\theta)$随机样本, 考虑假设检验问题

$H_0:\theta \le 1 \quad \mathrm{vs} \quad H_1: \theta >1$

构造拒绝域$W=\{X_{(n)}\ge c \}$. 回答下述问题:

(1)(5分) $\alpha = 0.05$, 求$c$;

(2)(5分) 当$\theta=1.5$, 为使得犯第二类错误的概率$\beta\le 0.1$, 求至少要多少样本量.