中山大学-432统计学-2022年

一、选择题

1、甲乙两人轮流掷骰子, 先掷出1或6者取胜, 问先掷者获胜的概率是( ).

A.$\frac{1}{3}$;
B.$\frac{1}{2}$;
C.$\frac{2}{5}$;
D.$\frac{3}{5}$.

2、 现有两个盒子, 第一个盒中装有2个红球与3个白球, 第二个盒子中装有3个红球和5个白球, 先随机选择一个盒子, 再从该盒中摸球, 现知摸出的是红球, 其来自于第一个盒子的概率是( ).

A.$\frac{16}{31}$;
B.$\frac{2}{5}$;
C.$\frac{1}{5}$;
D.$\frac{15}{31}$.

3、随机变量$X\sim \mathcal{N}\left( \mu ,\sigma ^2 \right)$, 对于固定的$a > 0$, 在$\sigma$增大时, 概率$P\left( \left| X-\mu \right|<a \right)$的变化趋势是 ( ).

A. 减小;
B. 增大;
C. 不变;
D. 先增后减.

4、$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自正态总体$\mathcal{N}\left( \mu ,\sigma ^2 \right)$的简单随机样本, 其中$\mu,\sigma^2$均未知, 则样本方差$s^2$是$\sigma^2$的( ).

A. 最大似然估计;
B. 有效估计;
C. 相合估计;
D. 以上都是.

5、设$[a,b]$是根据一组随机样本得到的关于未知参数$\theta$的 95% 置信区间, 则以下说法正确的是 ( ).

A. 有 95% 的随机样本落入该区间;

B. 对于假设检验问题$H_0:\theta =\theta _0\ vs\ H_1:\theta \ne \theta _0$, 在0.05的显著性水平下, 若$\theta_0 \notin [a,b]$, 则拒绝原假设;

C.$\theta$的估计量$\hat{\theta}$以 95% 概率落入该区间;

D.$\theta$的真实值以 95% 概率落入该区间.

6、 考虑$p$值检验, 若$p$值越小, 则( ).

A. 更有理由认为原假设不成立;

B. 更有理由认为原假设成立;

C. 以更大概率拒绝原假设;

D. 以更大概率接受原假设.

7、$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自正态总体$\mathcal{N}\left( \mu ,\sigma ^2 \right)$的简单随机样本, 其中$\mu,\sigma^2$均未知, 记$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{X_i},S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n{\left( X_i-\bar{X} \right) ^2}$, 下列说法正确的是 ( ).

A.$\bar{X},S,\frac{X_1-X_2}{S}$两两独立;

B.$\frac{\sqrt{2}\left( X_1-X_2 \right)}{\sigma}\sim N\left( 0,1 \right)$;

C.$\frac{X_1-X_2}{S}\sim t\left( n-1 \right)$;

D.$\frac{\sqrt{n}\left( \bar{X}-\mu \right)}{S}\sim t\left( n \right)$.

二、填空题

1、 设$f\left( x \right) =ae^{-\left| x \right|},x\in \mathcal{R}$是某个随机变量的p.d.f, 则$a=$____.

2、$a,b\sim \mathcal{U}\left( 0,2 \right)$, 且二者独立, 则方程$x^2+ax+b^2=0$有实根的概率是 ____.

3、已知有$\sqrt{n}X_n\rightarrow _d\mathcal{N}\left( 0,1 \right)$, 则$\sqrt{n}\left( e^{X_n}-1 \right)$的依分布收敛极限是 ____.

4、$X_1,X_2,\cdots,X_9$是来自$\mathcal{N}\left( \mu _1,\sigma _{1}^{2} \right)$的简单随机样本,$Y_1,Y_2,\cdots,Y_12$是来自$\mathcal{N}\left( \mu _2,\sigma _{2}^{2} \right)$的简单随机样本, 其中$\sigma _{1}^{2}=3\sigma _{2}^{2}$,$\sigma_2^2$未知, 则$\mu _1-\mu _2$的$1-\alpha$置信区间是 ____.

5、设$X\sim \mathcal{U}\left( 0,1 \right)$, 则$Y = X^2$的p.d.f 是 ____.

6、甲欲检验某枚硬币掷出正面的概率是否小于$\frac{1}{2}$, 即考虑假设检验问题$H_0:p=\frac{1}{2}\ vs\ H_1:p<\frac{1}{2}$. 现10次试验中有2次掷出正面, 则此时$p$值是 ____.

7、$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自正态总体$\mathcal{N}\left( \mu ,\sigma ^2 \right)$的简单随机样本, 其中$\mu,\sigma^2$均未知, 则$\sigma^2$的 MLE 的均方误差是 ____.

三、解答题

1、设$\left( X,Y \right) \sim \mathcal{N}\left( 0,0;1,1;\rho \right)$, 试求$Z = \left| X-Y \right|$的 p.d.f 以及其数学期望期望.

2、对于来自负二项分布$NB\left( r,p \right)$的单个样本$X$, 其分布列是$P\left( X=x \right) =C_{x-1}^{r-1}p^r\left( 1-p \right) ^{x-r}$, 试求$p^k$的UMVUE(其中 $k<r$).

3、有来自总体$f\left( x \right) =\frac{\theta}{x^2}I_{\left\{ x\ge \theta \right\}}$的随机样本$X_1,X_2,\cdots,X_n$, 其中未知参数$\theta > 0$, 试解决下述问题.

(1). 试求$\theta$的MLE;

(2). 判断1)中的MLE是否为充分统计量;

(3). 求$\theta$的95% 置信区间.

4、为验证某骰子是否均匀, 某人进行了100次试验, 其中数字1,2,3,4,5,6出现的次数分别为15,18,19,14,16,18. 试用数学方法建立模型并解答, 无需代入具体数值计算.

5、现有来自总体$f\left( x \right) =\theta x^{\theta -1}I_{\left\{ 0\le x\le 1 \right\}}$的简单随机样本$X_1,X_2,\cdots,X_n$, 考虑假设检验问题:

$H_0:\theta =1\ vs\ H_1:\theta \ne 1$

(1) 求上述问题显著性水平$\alpha$的广义似然比拒绝域;

(2) 求 (1) 中检验的功效函数;

(3) 问 (1) 中检验是否为UMP检验?