北大叉院-849统计学-2022年
一、(15分) 假设某新冠检测试剂准确率为100%, 用于下述情况的检验.
(1) 某工厂100人中有2人患新冠, 将100人分为10组筛查, 若某组呈阳性则再于组内逐一筛查, 求检测次数的分布.
(2) 某工厂 人中有2人患新冠, 分为组筛查, 若某组呈阳性则再于组内逐一筛查, 求检测次数的分布.
二、(20分) 某昆虫产卵数服从泊松分布 , 虫卵能成虫的概率是 , 求成虫数 的分布.
三、(15分) 是来自指数分布 的随机样本, 求 的MLE以及MLE的期望.
四、(15分) 已知 , 求 .
五、(20分) 且相互独立, 求 的分布.
六、(20分) 随机变量, 是常数, 用 表示 到 的距离, 试求当 时 的取值.
七、(20分) 有一组乙肝患者随机分配到甲组和乙组分别用疫苗I与疫苗II进行治疗. 已通过预测试得出疫苗I转阴率为,疫苗II转阴率为, 且 . 给定检验水平 , 求疫苗医学效用不小于 时, 甲组和乙组的最少样本数, 其中甲组样本数是乙组的 倍.
八、(20分) 对于总体 , 其中 已知. 试问想要构造 的 置信区间使得区间长度不大于 , 至少需要多少的样本量 .
九、(20分) 对于线性回归模型 , 其中诸 相互独立都服从 . 现有 个观测数据. 满足
(1) 求最小二乘估计 , 以及 的无偏估计.
(2) 的 置信区间;
(3) 给定 , 求 的预测区间.