北大叉院-849统计学-2022年

一、(15分) 假设某新冠检测试剂准确率为100%, 用于下述情况的检验.

(1) 某工厂100人中有2人患新冠, 将100人分为10组筛查, 若某组呈阳性则再于组内逐一筛查, 求检测次数的分布.

(2) 某工厂 m×nm\times n 人中有2人患新冠, 分为nn组筛查, 若某组呈阳性则再于组内逐一筛查, 求检测次数的分布.


二、(20分) 某昆虫产卵数服从泊松分布 P(λ)\mathcal{P}\left( \lambda \right), 虫卵能成虫的概率是 pp, 求成虫数 YY 的分布.


三、(15分) X1,X2,,XnX_1,X_2,\cdots,X_n是来自指数分布 E(λ)\mathcal{E}\left( \lambda \right) 的随机样本, 求 λ\lambda 的MLE以及MLE的期望.


四、(15分) 已知 (X,Y)N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)\left( X,Y \right) \sim \mathcal{N}\left( \mu _1,\mu _2;\sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2};\rho \right), 求 E(max{X,Y})E\left( \max \left\{ X,Y \right\} \right).


五、(20分) X1,X2N(0,1)X_1,X_2\sim \mathcal{N}\left( 0,1 \right) 且相互独立, 求 Y=(X1X2)22Y=\frac{\left( X_1-X_2 \right) ^2}{2} 的分布.


六、(20分) 随机变量XU(0,1)X\sim \mathcal{U}\left( 0,1 \right), a(0,1)a\in \left( 0,1 \right) 是常数, 用 YY 表示 aaXX 的距离, 试求当 ρXY=0\rho_{XY} = 0aa 的取值.


七、(20分) 有一组乙肝患者随机分配到甲组和乙组分别用疫苗I与疫苗II进行治疗. 已通过预测试得出疫苗I转阴率为p1p_1,疫苗II转阴率为p2p_2, 且 p1>p2p_1 > p_2. 给定检验水平 α\alpha, 求疫苗医学效用不小于β\beta 时, 甲组和乙组的最少样本数, 其中甲组样本数是乙组的 rr 倍.


八、(20分) 对于总体 XN(μ,σ2)X\sim \mathcal{N}\left( \mu ,\sigma ^2 \right), 其中 σ2\sigma^2 已知. 试问想要构造 μ\mu1α1-\alpha 置信区间使得区间长度不大于 LL , 至少需要多少的样本量 nn.


九、(20分) 对于线性回归模型 yi=βxi+εiy_i=\beta x_i+\varepsilon _i, 其中诸 εi\varepsilon _i 相互独立都服从 N(0,σ2)\mathcal{N}\left( 0,\sigma ^2 \right). 现有 nn 个观测数据. 满足

(1) 求最小二乘估计 β^\hat{\beta}, 以及 σ2\sigma^2 的无偏估计.

(2) β\beta1α1-\alpha 置信区间;

(3) 给定 x0x_0, 求 y0y_0 的预测区间.