北大叉院-849统计学-2022年-解析

北大叉院-849统计学-2022年

一、(15分) 假设某新冠检测试剂准确率为100%, 用于下述情况的检验.

(1) 某工厂100人中有2人患新冠, 将100人分为10组筛查, 若某组呈阳性则再于组内逐一筛查, 求检测次数的分布.

(2) 某工厂 $m\times n$ 人中有2人患新冠, 分为$n$组筛查, 若某组呈阳性则再于组内逐一筛查, 求检测次数的分布.

Solution:
(1) 若2人在一组, 则检测20次; 若2人不在一组, 则检测30次.

$P\left( X=20 \right) =10\cdot \frac{C_{2}^{2}C_{98}^{8}}{C_{100}^{10}}=\frac{1}{11},P\left( X=30 \right) =\frac{10}{11}$

可先求两人都在第一组的概率, 即100人中选10人, 恰选中这两人的概率, 它是 $\frac{C_{2}^{2}C_{98}^{8}}{C_{100}^{10}}=\frac{1}{110}$, 又考虑到总共有10组, 故题中所提的概率是 $\frac{1}{11}$.

(2) 若2人在一组, 则检测 $n+m$ 次; 若2人不在一组, 则检测$n + 2m$次.

$P\left( X=n+m \right) =n\cdot \frac{C_{2}^{2}C_{mn-2}^{m-2}}{C_{mn}^{m}}=\frac{m-1}{mn-1},P\left( X=n+2m \right) =\frac{mn-m}{mn-1}$

二、(20分) 某昆虫产卵数服从泊松分布 $\mathcal{P}\left( \lambda \right)$, 虫卵能成虫的概率是 $p$, 求成虫数 $Y$ 的分布.

Solution:

根据全概率公式:
$P($ 母虫有 $n$ 只后代 $)=\sum_{k=n}^{+\infty} P($ 母虫有 $n$ 只后代|母虫产 $k$ 个卵) $P($ 母虫产 $k$ 个卵 $)$,
而 $P$ (母虫产 $k$ 个卵 $)=\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}$,
$P($ 母虫有 $n$ 只后代|母虫产 $k$ 个卵 $)=C_{k}^{n} p^{n} q^{k-n}=\frac{k !}{n !(k-n) !} p^{n} q^{k-n}$,
$\therefore P($ 母虫有 $n$ 只后代 $)=\sum_{k=n}^{+\infty} \frac{k !}{n !(k-n) !} p^{n} q^{k-n} \cdot \frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda} =\frac{\lambda^{n} p^{n}}{n !} e^{-\lambda} \sum_{k=n}^{+\infty} \frac{(q \lambda)^{k-n}}{(k-n) !}=\frac{\lambda^{n} p^{n}}{n !} e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{+\infty} \frac{(q \lambda)^{i}}{i !}=\frac{\lambda^{n} p^{n}}{n !} e^{-\lambda} e^{q \lambda}=\frac{(\lambda p)^{n}}{n !} e^{-\lambda p} .$
它恰好是参数为 $\lambda p$ 的泊松分布.

三、(15分) $X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自指数分布 $\mathcal{E}\left( \lambda \right)$ 的随机样本, 求 $\lambda$ 的MLE以及MLE的期望.

Solution: $\hat{\lambda}=\frac{n}{\sum_{i=1}^n{X_i}},E\hat{\lambda}=\frac{n}{n-1}\lambda$.

四、(15分) 已知 $\left( X,Y \right) \sim \mathcal{N}\left( \mu _1,\mu _2;\sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2};\rho \right)$, 求 $E\left( \max \left\{ X,Y \right\} \right)$.

Solution: 利用 $\max \left\{ X,Y \right\} =\frac{\left( X+Y \right) +\left| X-Y \right|}{2}$, 其中 $X+Y\sim N\left( \mu _1+\mu _2,\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+2\rho \sigma _1\sigma _2 \right)$,
和 $X-Y\sim N\left( \mu _1-\mu _2,\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\rho \sigma _1\sigma _2 \right)$, 算得有

$E\left( X+Y \right) =\mu _1+\mu _2$

以及

$E\left| X-Y \right|=\sqrt{\frac{2\left( \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\rho \sigma _1\sigma _2 \right)}{\pi}}e^{-\frac{\left( \mu _1-\mu _2 \right) ^2}{2\left( \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\rho \sigma _1\sigma _2 \right)}}+\left( \mu _1-\mu _2 \right) \left[ 2\Phi \left( \frac{\mu _1-\mu _2}{\sqrt{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\rho \sigma _1\sigma _2}} \right) -1 \right]$

于是有

$E\left[ \max \left\{ X,Y \right\} \right] =\frac{1}{2}\left[ \mu _1+\mu _2+E\left| X-Y \right| \right]$

注: 这里先记 $X-Y\sim \mathcal{N}\left( \mu ,\sigma ^2 \right)$, 算出 $E\left| X-Y \right|$ 后再代回 $\mu =\mu _1-\mu _2,\sigma ^2=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\rho \sigma _1\sigma _2$.

五、(20分) $X_1,X_2\sim \mathcal{N}\left( 0,1 \right)$ 且相互独立, 求 $Y=\frac{\left( X_1-X_2 \right) ^2}{2}$ 的分布.

Solution: 根据正态分布的性质, $X_1 - X_2 \sim \mathcal{N}(0,2)$, 因此 $Y = \frac{\left( X_1-X_2 \right) ^2}{2}\sim \chi _{1}^{2}$.

六、(20分) 随机变量$X\sim \mathcal{U}\left( 0,1 \right)$, $a\in \left( 0,1 \right)$ 是常数, 用 $Y$ 表示 $a$ 到 $X$ 的距离, 试求当 $\rho_{XY} = 0$ 时 $a$ 的取值.

Solution: $EX=\frac{1}{2},EY=a^2-a+\frac{1}{2},EXY=\frac{a^3}{3}-\frac{a}{2}+\frac{1}{3}$, 令

$Cov\left( X,Y \right) =\frac{a^3}{3}-\frac{a}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}=0$

得 $a = \frac{1}{2}$ 以及 $a=-\frac{-4\pm \sqrt{240}}{8}$(舍).

七、(20分) 有一组乙肝患者随机分配到甲组和乙组分别用疫苗I与疫苗II进行治疗. 已通过预测试得出疫苗I转阴率为$p_1$,疫苗II转阴率为$p_2$, 且 $p_1 > p_2$. 给定检验水平 $\alpha$, 求疫苗医学效用不小于$\beta$ 时, 甲组和乙组的最少样本数, 其中甲组样本数是乙组的 $r$ 倍.

Solution: 题意不明. 但都给分.

八、(20分) 对于总体 $X\sim \mathcal{N}\left( \mu ,\sigma ^2 \right)$, 其中 $\sigma^2$ 已知. 试问想要构造 $\mu$ 的 $1-\alpha$ 置信区间使得区间长度不大于 $L$ , 至少需要多少的样本量 $n$.

Solution: 置信区间是 $\bar{X}\pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{1-\frac{\alpha}{2}}$, 令其长度 $2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{1-\frac{\alpha}{2}}\le L$, 解得 $n\ge \frac{4\sigma ^2}{L^2}z_{1-\frac{\alpha}{2}}^{2}$.

九、(20分) 对于线性回归模型 $y_i=\beta x_i+\varepsilon _i$, 其中诸 $\varepsilon _i$ 相互独立都服从 $\mathcal{N}\left( 0,\sigma ^2 \right)$. 现有 $n$ 个观测数据. 满足

(1) 求最小二乘估计 $\hat{\beta}$, 以及 $\sigma^2$ 的无偏估计.

(2) $\beta$ 的 $1-\alpha$ 置信区间;

(3) 给定 $x_0$, 求 $y_0$ 的预测区间.

Solution: (1) 对残差平方和 $Q\left( \beta \right) =\sum_{i=1}^n{\left( y_i-\beta x_i \right) ^2}$ 求导并置零, 得正规方程:

$\sum_{i=1}^n{x_iy_i}-\beta \sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}}=0$

解得最小二乘估计 $\hat{\beta}=\frac{\sum_{i=1}^n{x_iy_i}}{\sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}}}$. 此时残差平方和的制度为 $n-1$, 因此 $\hat{\sigma}^2=\frac{\sum_{i=1}^n{\left( y_i-x_i\hat{\beta} \right) ^2}}{n-1}$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计.

(2) 考虑到 $\hat{\beta}=\frac{\sum_{i=1}^n{x_iy_i}}{\sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}}}\sim \mathcal{N}\left( \beta ,\frac{\sigma ^2}{\sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}}} \right)$ 且与 $\left( n-1 \right) \frac{\hat{\sigma}^2}{\sigma ^2}\sim \chi ^2\left( n-1 \right)$ 相互独立, 因此 $\beta$ 的 $1-\alpha$ 置信区间是

$\hat{\beta}\pm \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}}}}t_{1-\frac{\alpha}{2}}\left( n-1 \right)$

(3) 由于 $y_0\sim \mathcal{N}\left( \beta x_0,\sigma ^2 \right) ,\hat{\beta}x_0\sim \mathcal{N}\left( \beta x_0,\frac{x_{0}^{2}\sigma ^2}{\sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}}} \right)$, 且二者独立, 所以 $y_0-\hat{\beta}x_0\sim \mathcal{N}\left( 0,\left( 1+\frac{x_{0}^{2}}{\sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}}} \right) \sigma ^2 \right)$, 且他与 $\left( n-1 \right) \frac{\hat{\sigma}^2}{\sigma ^2}\sim \chi ^2\left( n-1 \right)$ 独立, 因此 $y_0$ 的 $1-\alpha$ 预测区间是

$\hat{\beta}x_0\pm \sqrt{1+\frac{x_{0}^{2}}{\sum_{i=1}^n{x_{i}^{2}}}}\hat{\sigma}t_{1-\frac{\alpha}{2}}\left( n-1 \right)$