北京大学-431金融学综合-2022年-解析

北京大学-金融学综合-2022年

2022统计部分解析

一、(20分) 设 $X$ 有密度函数

$$f\left( x \right) =\begin{cases} c\left( 1-x^2 \right) ,& \left| x \right|\le 1,\\ 0,& \text{其他}.\\ \end{cases}$$

(1)(5分) 求 $c$.
(2)(10分) 求 $X$ 的期望和方差.
(3)(5分) 求 $Y=X^2$ 的概率分布.

Solution:
(1) 由密度函数的正则性, 有

$$1=c\int_{-1}^1{\left( 1-x^2 \right) dx}=c\left( 2-\frac{2}{3} \right) =\frac{4}{3}c,$$

解得 $c=\frac{3}{4}$.

(2) 先计算期望, 由奇函数性质, 有

$$E\left( X \right) =\frac{3}{4}\int_{-1}^1{x\left( 1-x^2 \right) dx}=0.$$

再算二阶矩, 由偶函数性质, 有

$$E\left( X^2 \right) =\frac{3}{4}\int_{-1}^1{x^2\left( 1-x^2 \right) dx}=\frac{3}{2}\int_0^1{\left( x^2-x^4 \right) dx}=\frac{3}{2}\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{5} \right) =\frac{1}{5}.$$

因此 $Var(X)=\frac{1}{5}$.

(3) 利用分布函数法, 对 $y\in (0,1)$, 有

$$P\left( Y\le y \right) =\frac{3}{4}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}{\left( 1-x^2 \right) dx}=\frac{3}{4}\left( 2\sqrt{y}-\frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}} \right) =\frac{3}{2}y^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}y^{\frac{3}{2}}.$$

求导, 得

$$f_Y\left( y \right) =\frac{3}{4}y^{-\frac{1}{2}}-\frac{3}{4}y^{\frac{1}{2}},\quad y\in \left( 0,1 \right) .$$

二、(15分) 某生产灯泡的公司想估计灯泡的平均寿命(小时). 设灯泡寿命 $X\sim N(\mu,1000^2)$.

(1)(5分) 想将 $95\%$ 的置信水平的置信区间误差控制在 $\pm 200$ 小时内, 需要多少样本量?
(2)(5分) 现将置信水平改为 $99\%$, 重新回答(1).
(3)(5分) 现在考虑置信水平还是 $95\%$, 但误差需要在 $\pm 100$ 小时内, 需要多少样本量?

Solution: (1) 枢轴量为 $Z=\sqrt{n}\frac{\bar{x}-\mu}{1000}\sim N\left( 0,1 \right)$, 因此有置信区间

$$\left[ \bar{x}-z_{0.975}\frac{1000}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{0.975}\frac{1000}{\sqrt{n}} \right] .$$

查表得 $z_{0.975}=1.96$, 因此令

$$1.96\frac{1000}{\sqrt{n}}\le 200,\quad \Rightarrow \quad n\ge \left( 1.96\frac{1000}{200} \right) ^2=96.04.$$

这说明至少需要 $97$ 个样本量.

(2) 同理, 查表得 $z_{0.995}= 2.58$, 因此令

$$2.58\frac{1000}{\sqrt{n}}\le 200,\quad \Rightarrow \quad n\ge \left( 2.58\frac{1000}{200} \right) ^2=166.41.$$

这说明至少需要 $167$ 个样本量.

(3) 令

$$1.96\frac{1000}{\sqrt{n}}\le 100,\quad \Rightarrow \quad n\ge \left( 1.96\frac{1000}{100} \right) ^2=384.16.$$

至少需要 $385$ 个样本量.

三、(20分) 为调查折扣水平和订阅服务量是否有关, 收集如下数据.

	无折扣	普通折扣	大折扣	总和
订阅	20	50	30	100
不订阅	80	150	70	300
总和	100	200	100	400

(1)(5分) 写出 $H_0$ 和 $H_1$.
(2)(10分) 给出检验统计量及其在 $H_0$ 下的分布, 并计算其样本值.
(3)(5分) 在 $0.05$ 显著性水平下, 是否认为折扣水平和订阅服务量有关?

Solution: (1) 原假设应是折扣水平和订阅服务量无关, 备择假设是有关, 即

$$H_0:\text{折扣水平和订阅服务量独立} \quad \mathrm{vs} \quad H_1:\text{不独立}$$

(2) 列联表检验统计量

$$\chi ^2=\sum_{i,j}{\frac{\left( n_{ij}-n\hat{p}_{i\cdot}\hat{p}_{\cdot j} \right) ^2}{n\hat{p}_{i\cdot}\hat{p}_{\cdot j}}}\sim \chi ^2\left( \left( 3-1 \right) \left( 2-1 \right) \right) =\chi ^2\left( 2 \right) .$$

我们先计算出独立时每个单元格期望值 $n\hat{p}_{i\cdot}\hat{p}_{\cdot j}$, 即

	无折扣	普通折扣	大折扣	总和
订阅	25	50	25	100
不订阅	75	150	75	300
总和	100	200	100	400

对应计算出差值 $n_{ij}-n\hat{p}_{i\cdot}\hat{p}_{\cdot j}$, 即

	无折扣	普通折扣	大折扣
订阅差值	-5	0	5
不订阅差值	5	0	-5

因此有卡方统计量的值为

$$\chi ^2=5^2\left( \frac{1}{25}+\frac{1}{75} \right) +0+5^2\left( \frac{1}{25}+\frac{1}{75} \right) =2.66667.$$

(3) 对应的拒绝域是

$$W=\{\chi^2 \ge \chi^2_{0.95}(2)\},$$

回忆起 $Y\sim \chi^2(2)=Exp(\frac{1}{2})$, 令 $P\left( Y>c \right) =e^{-\frac{c}{2}}=0.05$, 解得

$$\chi _{0.95}^{2}\left( 2 \right) =c=-\ln \left( 0.05 \right) =5.99146,$$

显然此时 $2.66667<5.99146$, 不落入拒绝域, 故我们认为订阅量与折扣水平独立.

四、(20分) 设有线性模型 $Y=a+bX+c\ln X+e$, 其中 $e\sim N(0,\sigma^2)$. 假设收集到独立数据 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$.

(1)(5分) 求 $a,b,c$ 的 OLS 估计量.
(2)(5分) 根据该模型, 如何判断 $Y$ 与 $X$ 是否存在明显的线性关系?
(3)(10分) 如果 $Y$ 与 $X$ 存在线性关系, 求 $b$ 的OLS估计量, 并证明它是无偏的.

Solution:

(1) 记$z_i=\ln x_i$, OLS 估计意味着残差平方和最小, 即

$$Q\left( a,b,c \right) =\sum_{i=1}^n{\left( y_i-a-bx_i-cz_i \right) ^2}$$

最小. 求导有

$$\begin{cases} \frac{\partial Q}{\partial a}=-\sum_{i=1}^n{\left( y_i-a-bx_i-cz_i \right) ,}& \left( 1 \right)\\ \frac{\partial Q}{\partial b}=-\sum_{i=1}^n{x_i\left( y_i-a-bx_i-cz_i \right) ,}& \left( 2 \right)\\ \frac{\partial Q}{\partial c}=-\sum_{i=1}^n{z_i\left( y_i-a-bx_i-cz_i \right) ,}& \left( 3 \right)\\ \end{cases}$$

令它们为 $0$, 由 $(1)$ 直接得 $\hat{a} = \bar{y}-\hat{b} \bar{x} -\hat{c}\bar{z}$.
整理 $(2)$ 得

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n{x_i\left( y_i-a-bx_i-cz_i \right)}&=\sum_{i=1}^n{\left( x_i-\bar{x} \right) \left( y_i-\hat{a}-\hat{b}x_i-\hat{c}z_i \right)}\\ &=\sum_{i=1}^n{\left( x_i-\bar{x} \right) \left( \left( y_i-\bar{y} \right) -\hat{b}\left( x_i-\bar{x} \right) -\hat{c}\left( z_i-\bar{z} \right) \right)}\\ &=l_{xy}-\hat{b}l_{xx}-\hat{c}l_{xz},\\ \end{aligned}$$

即 $\hat{b}l_{xx}+\hat{c}l_{xz}=l_{xy}$, 同理由 $(3)$ 得 $\hat{b}l_{xz}+\hat{c}l_{zz}=l_{zy}$. 即有线性方程组

$$\begin{cases} l_{xx}\cdot \hat{b}+l_{xz}\cdot \hat{c}=l_{xy},\\ l_{xz}\cdot \hat{b}+l_{zz}\cdot \hat{c}=l_{zy},\\ \end{cases}$$

根据克拉默法则, 解得

$$\hat{b}=\frac{l_{xy}l_{zz}-l_{xz}l_{zy}}{l_{xx}l_{zz}-l_{xz}^{2}},\quad \hat{c}=\frac{l_{xx}l_{zy}-l_{xy}l_{xz}}{l_{xx}l_{zz}-l_{xz}^{2}}.$$

代入得 $\hat{a} = \bar{y}-\hat{b} \bar{x} -\hat{c}\bar{z}$.

(2) 根据该模型, 如果 $Y$ 和 $X$ 具有线性关系, 那么系数 $\hat{b}$ 应该非常显著, 同时, 非线性关系项 $\ln X$ 对应的系数 $\hat{c}$ 不应显著.

(3) 如果已知 $Y$ 和 $X$ 只存在线性关系, 则有非线性关系项 $\ln X$ 对应的系数真值为 $c=0$, 此时残差平方和为 $Q\left( a,b \right) =\sum_{i=1}^n{\left( y_i-a-bx_i \right) ^2}$, 重复 (1) 中求导步骤得

$$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x},\quad \hat{b}=\frac{l_{xy}}{l_{xx}}=\frac{\sum_{i=1}^n{\left( x_i-\bar{x} \right) \left( y_i-\bar{y} \right)}}{\sum_{i=1}^n{\left( x_i-\bar{x} \right)}},$$

根据期望的线性性, 有

$$\begin{aligned} E\left( \hat{b} \right) &=\frac{\sum_{i=1}^n{\left( x_i-\bar{x} \right) E\left( y_i-\bar{y} \right)}}{l_{xx}}=\frac{\sum_{i=1}^n{\left( x_i-\bar{x} \right) \left( a+bx_i-\left( a+b\bar{x} \right) \right)}}{l_{xx}}\\ &=\frac{\sum_{i=1}^n{b\left( x_i-\bar{x} \right) ^2}}{l_{xx}}=\frac{bl_{xx}}{l_{xx}}=b.\\ \end{aligned}$$

2022微观部分解析

一、(21 分) 假设有两个风险资产 $X$ 和 $Y$。每投资 1 元在 $X$ 中，在牛市时获得的总回报为 $R_{X1}$，在熊市时获得的总回报为 $R_{X2}$。每投资 1 元在 $Y$ 中，在牛市时获得的总回报为 $R_{Y1}$，在熊市时获得的总回报为 $R_{Y2}$。牛市和熊市发生的概率均为 0.5，投资者可用于投资的金额为 10 元。投资者的期望效用函数为 $E(W_1) - \gamma Var(W_1)$，其中 $W_1$ 为总投资回报，$E(W_1)$ 和 $Var(W_1)$ 分别为期望和方差，$\gamma = 0.1$ 为风险厌恶系数。投资者没有其他渠道可用于投资。

1. (6 分) 如果 $R_{X1} = 1.5, R_{X2} = 0.9, R_{Y1} = 0.8, R_{Y2} = 1.6$，假设投资者只能选择其中一个风险资产投资，那么他会选择哪一个？为什么？获得的效用是多少？

2. (6 分) 如果 $R_{X1} = 1.5, R_{X2} = 0.9, R_{Y1} = 0.6, R_{Y2} = 2.0$，假设投资者只能选择其中一个风险资产投资，那么他会选择哪一个？为什么？获得的效用是多少？

3. (9 分) 如果 $R_{X1} = 1.5, R_{X2} = 0.9, R_{Y1} = 0.6, R_{Y2} = 2.0$，假设投资者可以分配投资金额比例 $\alpha$ 在风险资产 $X$，$(1 - \alpha)$ 在风险资产 $Y$，其中 $0 \leq \alpha \leq 1$。求使得最大化投资者期望效用的 $\alpha$。

Solution：

(1) 牛市和熊市的回报分别为：

• 资产 $X$：牛市回报 $10 \times 1.5 = 15$，熊市回报 $10 \times 0.9 = 9$；

• 资产 $Y$：牛市回报 $10 \times 0.8 = 8$，熊市回报 $10 \times 1.6 = 16$。

期望和方差为：

$$E(W_X) = 0.5 \times 15 + 0.5 \times 9 = 12, \quad Var(W_X) = 0.5 \times (15 - 12)^2 + 0.5 \times (9 - 12)^2 = 9$$

$$E(W_Y) = 0.5 \times 8 + 0.5 \times 16 = 12, \quad Var(W_Y) = 0.5 \times (8 - 12)^2 + 0.5 \times (16 - 12)^2 = 16$$

效用分别为：

$$U_X = 12 - 0.1 \times 9 = 11.1, \quad U_Y = 12 - 0.1 \times 16 = 10.4.$$

因此投资者选择资产 $X$，因为 $U_X > U_Y$。

(2) 牛市和熊市的回报分别为：

• 资产 $X$：牛市回报 $10 \times 1.5 = 15$，熊市回报 $10 \times 0.9 = 9$；

• 资产 $Y$：牛市回报 $10 \times 0.6 = 6$，熊市回报 $10 \times 2.0 = 20$。

期望和方差为：

$$E(W_X) = 0.5 \times 15 + 0.5 \times 9 = 12, \quad Var(W_X) = 0.5 \times (15 - 12)^2 + 0.5 \times (9 - 12)^2 = 9$$

$$E(W_Y) = 0.5 \times 6 + 0.5 \times 20 = 13, \quad Var(W_Y) = 0.5 \times (6 - 13)^2 + 0.5 \times (20 - 13)^2 = 49$$

效用分别为：

$$U_X = 12 - 0.1 \times 9 = 11.1, \quad U_Y = 13 - 0.1 \times 49 = 8.1$$

这说明，投资者会选择资产 $X$，因为 $U_X > U_Y$。

(3) 总回报为：

$$W = 10 \times (\alpha R_X + (1-\alpha) R_Y)$$

在牛市和熊市下的回报分别为：

$$W_1 = 10 \times (0.9\alpha + 0.6), \quad W_2 = 10 \times (-1.1\alpha + 2.0)$$

求期望，有：

$$E(W) = 0.5 \times W_1 + 0.5 \times W_2 = -1\alpha + 13,$$

求方差，有：

$$Var(W) = 100\alpha^2 - 140\alpha + 49.$$

因此，效用函数是：

$$U(\alpha) = (13 - \alpha) - 0.1 \times (100\alpha^2 - 140\alpha + 49) = 8.1 + 13\alpha - 10\alpha^2.$$

对 $U(\alpha)$ 求导：

$$\frac{dU(\alpha)}{d\alpha} = 13 - 20\alpha,$$

解得最优 $\alpha$：

$$\alpha = \frac{13}{20} = 0.65.$$

因此，投资者应将约 65% 的资金投资于资产 $X$，35% 的资金投资于资产 $Y$。

二、(16 分)某地消费者需要采购两种商品，分别为加湿器 $x$ 和净化器 $y$，消费者获得的总效用为 $x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}$，加湿器的价格为 1，净化器价格为 4。消费者采购两种商品的总预算为 24。

1. (4 分) 计算加湿器和净化器的采购数量 $x$ 和 $y$。

2. (5 分) 由于净化器能耗较高，政府考虑把对生产该商品的厂商征税，从而使其价格变为 $4t_1$（$t_1 > 1$）。求解 $t_1$，使得净化器的采购量变为问题（1）中净化器采购量的 50%。

3. (5 分) 若政府向消费者征收所得税，使其总预算变为 $24t_2$（$0 < t_2 < 1$）。求解 $t_2$，使得净化器采购量变为问题（1）中净化器采购量的 50%。

4. (2 分) 哪一种征税方案下消费者的效用较高？有什么政策启示？

Solution：

本题可用常规的拉格朗日乘数法解决, 我们这里展示一种基本不等式法。

(1) 问题等价于：

$$\max_{x, y} \quad x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}} \quad \text{s.t.} \quad x + 4y = 24$$

通过预算约束 $24 = x + 4y = x + 2y + 2y \ge 3 \cdot \sqrt[3]{x \cdot 2y \cdot 2y} = 3 \cdot 4 \cdot \sqrt[3]{x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}}$,
推导出：

$$x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}} \leq 8 \cdot 4^{-\frac{1}{3}}$$

当且仅当 $x = 2y$ 时取等, 即 $x = 8, y = 4$。

(2) 现在有：

$$24 = x + 4t_1 y = x + 2t_1 y + 2t_1 y \geq 3 \cdot (4 t_1)^{\frac{1}{3}} \cdot \left( x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}} \right)$$

当且仅当 $x = 2t_1 y$ 时取等, 即 $y = \frac{4}{t_1}$,
解得 $t_1 = 2$。

(3) 新的预算约束为：

$$24 t_2 = x + 4y \geq 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}} \cdot \left( x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}} \right)$$

因此 $y = 4 t_2$, 解得 $t_2 = 0.5$。

(4) 第(2)问中：

$$U^2_{\max} = 8 \cdot (4t_1)^{-\frac{1}{3}} = 8 \cdot 8^{-\frac{1}{3}}$$

第(3)问中：

$$U^3_{\max} = 8 t_2 \cdot 4^{-\frac{1}{3}} = 4 \cdot 4^{-\frac{1}{3}}$$

因此：$U^2_{\max} > U^3_{\max}$, 这说明对消费者征税时更影响消费者的效用, 对商家征税时消费者的效用影响则较小，政府在征税时，应该针对商品征税，而不是征收所得税。（可参考食品券补贴没有金钱补贴好）

三、（18 分）市场上有两家厂商，产品稍有差异但仍可以相互替代。厂商 1 面临的市场逆需求函数为 $p_1 = 100 - 2q_1 - q_2$，总成本函数是其总产出 $q_1$ 的二次函数，为 $\frac{1}{2}q_1^2$。厂商 2 面临的市场逆需求函数为 $p_2 = 100 - q_1 - \beta q_2$（其中 $\beta > 1$），总成本为 $q_2$，即单位产出的成本是常数 1。双方各自定产以便优化各自的利润，无法协同调控此间的行动。

1. (6 分) 求厂商 1 的产量和利润。

2. (6 分) 求厂商 2 的产量和利润。

3. (4 分) 在何种条件下，厂商 2 会停止生产。此时，厂商 1 成为垄断商，求此时厂商 1 的产量和利润。

4. (2 分) 假设厂商 2 的产量为正。当 $\beta$ 上升时，厂商 1 的价格如何变化，是上升还是下降？

Solution：

(1)(2) 我们需同时考虑两问。
厂商 1 的反应函数为：

$$q_1 = \frac{100 - q_2}{5}$$

厂商 2 的反应函数为：

$$q_2 = \frac{99 - q_1}{2\beta}$$

联立求解得：

$$q_1 = \frac{200\beta - 99}{10\beta - 1}, \qquad q_2 = \frac{395}{10\beta - 1}$$

在厂商 1 的利润函数中代入 $q_1$和 $q_2$:

$$\pi_1 = (100 - 2q_1 - q_2) \cdot q_1 - \frac{1}{2} q_1^2 = \frac{(600\beta - 297)(200\beta - 99) - \frac{1}{2}(200\beta - 99)^2}{(10\beta - 1)^2}$$

在厂商 2 的利润函数中代入 $q_1$ 和 $q_2$:

$$\pi_2 = (100 - q_1 - \beta q_2) \cdot q_2 - q_2= \frac{395 \times 395\beta}{(10\beta - 1)^2}.$$

(3) 厂商 2 的反应函数为：

$$q_2 = \frac{99 - q_1}{2\beta}$$

怎样有$q_2=0$？
我们有两种考虑：第一种，厂商1扩大产量恶性竞争：

$$99 - q_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad q_1 = 99$$

第二种，厂商2的$\beta$太大，趋于无穷，使得$q_2$近似为0。
这两种中，第二种更为合理一点，因为它是不变动的，而$q_1$变动下难以保证2的一直停产。
当厂商 2 停产后，厂商 1 成为垄断者，
厂商 1 的利润函数为：

$$\pi_1\left(q_1\right) = (100 - 2q_1) \cdot q_1 - \frac{1}{2} q_1^2 = 100q_1 - 2.5q_1^2$$

对$q_1$ 求导数，得：

$$\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = 100 - 5q_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad q_1 = 20$$

代入利润函数，得到：

$$\pi_1 = 100 \times 20 - 2.5 \times 20^2 = 1000$$

因此，当$\beta \to \infty$，厂商 2 将停产。
在厂商 2 停产后，厂商 1 的最优垄断产量为 20，利润为 1000。
（或厂商1保持长时间的$q_1=99$的高产量，威胁压迫厂商2停产也有可能。）

(4) 回到 (1)、(2) 问的大环境中，有
厂商 1 的市场价格为：

$$p_1 = 100 - 2q_1 - q_2,$$

其中：

$$q_1 = \frac{200\beta - 99}{10\beta - 1}, \qquad q_2 = \frac{395}{10\beta - 1}.$$

代入得：

$$p_1 = 100 - \frac{400\beta + 197}{10\beta - 1}$$

对 $\beta$求导，得到：

$$\frac{d p_1}{d\beta} = \frac{8000\beta + 2370}{(10\beta - 1)^2}$$

由于 $\frac{d p_1}{d\beta} >0$，因此当 $\beta$上升时，厂商 1 的价格$p_1$上升。

四、（20 分）有一个村子以养羊闻名。全村有 $N$ 个农户，假设第 $i$ 个用户养 $q_i$ 只羊，那么全村总的养羊只数为 $Q = \sum_{i=1}^{N} q_i$。每只羊在市场上的价格为 $p = 200 - Q$。假设养羊没有成本。

1. (5 分) 假设每个农户独立决定养羊的数量来最大化各自的利润。求此时每个农户养羊只数、全村总的养羊只数、每只羊的市场价格以及每个农户的利润。

2. (5 分) 假设村长可以将全村所有农户组织起来，先决定全村的养羊只数，再把总利润平均分给每个农户。问此时全村总的养羊只数、每只羊的市场价格以及每个农户的利润。

3. (4 分) 给定农户数 $N$，比较（1）和（2）中每个农户的养羊数量和利润，以及全村总的养羊数。

4. (2 分) 当 $N$ 趋于无穷大时，（1）和（2）中全村养羊总利润会如何变化？

5. (4 分) 现在村长对农户养的每只羊征税 $t$，税款作为村子建设基金费用，因此不再返还农户。村长应该如何设置税额 $t$，使得每个农户独立养羊的数量和（2）中最大化全村总利润时的每户养羊数相等。

Solution：

(1) 根据轮换对称性，我们只需研究 $\pi_1$ 即可，有

$$\pi_1 = \left(200 - q_1 - q_2 - \cdots - q_N\right) q_N,$$

求得其反应函数为

$$q_1 = \frac{200 - \sum_{j\neq 1} q_j}{2}$$

同理，类比有

$$q_i = \frac{200 - \sum_{j\neq i} q_j}{2}$$

联立求解得

$$Q = \frac{200N}{N+1}$$

因此

$$q_1 = \cdots = q_N = \frac{200}{N+1}\\ p = \frac{200}{N+1},\pi_1 = \cdots = \pi_N = \frac{40000}{(N+1)^2}$$

(2) 此时 $\pi = (200 - Q)Q$，因此 $Q^* = 100$，此时

$$q_1 = \cdots = q_N = \frac{100}{N}, \quad p = 100, \quad \pi_1 = \cdots = \pi_N = \frac{10000}{N}.$$

(3) 第 (1) 问中，我们有 $q_1^1 = \frac{200}{N+1}$， $\pi_1^1 = \frac{40000}{(N+1)^2}$， $Q^1 = \frac{200N}{N+1}$。
第 (2) 问中，我们有 $q_1^2 = \frac{100}{N}$， $\pi_1^2 = \frac{10000}{N}$， $Q^2 = 100$。
可以发现，除了在 $N = 1$ 时结果相等（因为一户就是全村），在 $N > 1$ 时第 (2) 问的结论中每户羊数量少、利润高，总羊数也少。

(4) 第 (1) 问总利润为

$$\pi^1 = \frac{40000N}{(N+1)^2} \to 0,$$

第二问总利润 $\pi^2 \equiv 10000$ 不变。

(5) 将第一问的$200$替换为$200-t$

求得其反应函数为

$$q_i = \frac{200 - t }{N+1}$$

令$q$与第二问中$q$相等：

$$t = 100 - \frac{100}{N}.$$