北京大学-431金融学综合-2022年

2022统计部分真题

一、(20分) 设 $X$ 有密度函数

f\left( x \right) =\begin{cases} c\left( 1-x^2 \right) ,& \left| x \right|\le 1,\\ 0,& \text{其他}.\\ \end{cases}

(1)(5分) 求 $c$ .
(2)(10分) 求 $X$ 的期望和方差.
(3)(5分) 求 $Y=X^2$ 的概率分布.

二、(15分) 某生产灯泡的公司想估计灯泡的平均寿命(小时). 设灯泡寿命 $X\sim N(\mu,1000^2)$ .

(1)(5分) 想将 $95\%$ 的置信水平的置信区间误差控制在 $\pm 200$ 小时内, 需要多少样本量?
(2)(5分) 现将置信水平改为 $99\%$ , 重新回答(1).
(3)(5分) 现在考虑置信水平还是 $95\%$ , 但误差需要在 $\pm 100$ 小时内, 需要多少样本量?

三、(20分) 为调查折扣水平和订阅服务量是否有关, 收集如下数据.

	无折扣	普通折扣	大折扣	总和
订阅	20	50	30	100
不订阅	80	150	70	300
总和	100	200	100	400

(1)(5分) 写出 $H_0$ 和 $H_1$ .
(2)(10分) 给出检验统计量及其在 $H_0$ 下的分布, 并计算其样本值.
(3)(5分) 在 $0.05$ 显著性水平下, 是否认为折扣水平和订阅服务量有关?

四、(20分) 设有线性模型 $Y=a+bX+c\ln X+e$ , 其中 $e\sim N(0,\sigma^2)$ . 假设收集到独立数据 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$ .

(1)(5分) 求 $a,b,c$ 的 OLS 估计量.
(2)(5分) 根据该模型, 如何判断 $Y$ 与 $X$ 是否存在明显的线性关系?
(3)(10分) 如果 $Y$ 与 $X$ 存在线性关系, 求 $b$ 的OLS估计量, 并证明它是无偏的.

2022微观部分真题

一、(21 分) 假设有两个风险资产 $X$ 和 $Y$ 。每投资 1 元在 $X$ 中，在牛市时获得的总回报为 $R_{X1}$ ，在熊市时获得的总回报为 $R_{X2}$ 。每投资 1 元在 $Y$ 中，在牛市时获得的总回报为 $R_{Y1}$ ，在熊市时获得的总回报为 $R_{Y2}$ 。牛市和熊市发生的概率均为 0.5，投资者可用于投资的金额为 10 元。投资者的期望效用函数为 $E(W_1) - \gamma Var(W_1)$ ，其中 $W_1$ 为总投资回报， $E(W_1)$ 和 $Var(W_1)$ 分别为期望和方差， $\gamma = 0.1$ 为风险厌恶系数。投资者没有其他渠道可用于投资。

(6 分) 如果 $R_{X1} = 1.5, R_{X2} = 0.9, R_{Y1} = 0.8, R_{Y2} = 1.6$ ，假设投资者只能选择其中一个风险资产投资，那么他会选择哪一个？为什么？获得的效用是多少？
(6 分) 如果 $R_{X1} = 1.5, R_{X2} = 0.9, R_{Y1} = 0.6, R_{Y2} = 2.0$ ，假设投资者只能选择其中一个风险资产投资，那么他会选择哪一个？为什么？获得的效用是多少？
(9 分) 如果 $R_{X1} = 1.5, R_{X2} = 0.9, R_{Y1} = 0.6, R_{Y2} = 2.0$ ，假设投资者可以分配投资金额比例 $\alpha$ 在风险资产 $X$ ， $(1 - \alpha)$ 在风险资产 $Y$ ，其中 $0 \leq \alpha \leq 1$ 。求使得最大化投资者期望效用的 $\alpha$ 。

二、(16 分)某地消费者需要采购两种商品，分别为加湿器 $x$ 和净化器 $y$ ，消费者获得的总效用为 $x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}}$ ，加湿器的价格为 1，净化器价格为 4。消费者采购两种商品的总预算为 24。

(4 分) 计算加湿器和净化器的采购数量 $x$ 和 $y$ 。
(5 分) 由于净化器能耗较高，政府考虑把对生产该商品的厂商征税，从而使其价格变为 $4t_1$ （ $t_1 > 1$ ）。求解 $t_1$ ，使得净化器的采购量变为问题（1）中净化器采购量的 50%。
(5 分) 若政府向消费者征收所得税，使其总预算变为 $24t_2$ （ $0 < t_2 < 1$ ）。求解 $t_2$ ，使得净化器采购量变为问题（1）中净化器采购量的 50%。
(2 分) 哪一种征税方案下消费者的效用较高？有什么政策启示？

三、（18 分）市场上有两家厂商，产品稍有差异但仍可以相互替代。厂商 1 面临的市场逆需求函数为 $p_1 = 100 - 2q_1 - q_2$ ，总成本函数是其总产出 $q_1$ 的二次函数，为 $\frac{1}{2}q_1^2$ 。厂商 2 面临的市场逆需求函数为 $p_2 = 100 - q_1 - \beta q_2$ （其中 $\beta > 1$ ），总成本为 $q_2$ ，即单位产出的成本是常数 1。双方各自定产以便优化各自的利润，无法协同调控此间的行动。

(6 分) 求厂商 1 的产量和利润。
(6 分) 求厂商 2 的产量和利润。
(4 分) 在何种条件下，厂商 2 会停止生产。此时，厂商 1 成为垄断商，求此时厂商 1 的产量和利润。
(2 分) 假设厂商 2 的产量为正。当 $\beta$ 上升时，厂商 1 的价格如何变化，是上升还是下降？

四、（20 分）有一个村子以养羊闻名。全村有 $N$ 个农户，假设第 $i$ 个用户养 $q_i$ 只羊，那么全村总的养羊只数为 $Q = \sum_{i=1}^{N} q_i$ 。每只羊在市场上的价格为 $p = 200 - Q$ 。假设养羊没有成本。

(5 分) 假设每个农户独立决定养羊的数量来最大化各自的利润。求此时每个农户养羊只数、全村总的养羊只数、每只羊的市场价格以及每个农户的利润。
(5 分) 假设村长可以将全村所有农户组织起来，先决定全村的养羊只数，再把总利润平均分给每个农户。问此时全村总的养羊只数、每只羊的市场价格以及每个农户的利润。
(4 分) 给定农户数 $N$ ，比较（1）和（2）中每个农户的养羊数量和利润，以及全村总的养羊数。
(2 分) 当 $N$ 趋于无穷大时，（1）和（2）中全村养羊总利润会如何变化？
(4 分) 现在村长对农户养的每只羊征税 $t$ ，税款作为村子建设基金费用，因此不再返还农户。村长应该如何设置税额 $t$ ，使得每个农户独立养羊的数量和（2）中最大化全村总利润时的每户养羊数相等。