北京师范大学-432统计学-2021年

一、选择题（每题3分, 总计24分）

  1. 若 A\mathrm{A} 和 B\mathrm{B} 相互独立, 下列选项正确的是（）
    A. P(ABˉ)=P(A)P(Bˉ)P(A \bar{B})=P(A) P(\bar{B}) \quad
    B. P(ABˉ)>P(A)P(Bˉ)P(A \bar{B})>P(A) P(\bar{B})
    C. P(AB‾)<P(A)P(B‾)P(\mathrm{A} \overline{\mathrm{B}})<\mathrm{P}(\mathrm{A}) \mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})
    D. 以上都不正确

  1. 某校学生的成绩服从正态分布 X∼N(μ,36)X \sim N(\mu, 36), 在显著性水平 α=0.05\alpha=0.05 的情况下, 则要使估计 μ\mu 的测量误差控制在 ±1\pm1 之内, 需要多少样本量（）
    A. 139
    B. 2238
    C. 48
    D. 934

  1. 下列关于直方图和箱线图不正确的是（）
    A. 直方图柱形面积之和可以大于 1
    B. 箱线图可以展示更多数据
    C. 直方图分组时需要依据总体数量来分组
    D. 在绘制箱线图时, 需要的统计量有最小值、最大值、平均数、 x0.25x_{0.25} 分位数和 x0.75x_{0.75} 分位数

  1. 对于随机变量 XX 与 YY, X∼N(0,1)X \sim \mathrm{N}(0,1), Y∼N(0,1)Y \sim \mathrm{N}(0,1), 那么 X+YX+Y 的方差为 ()(\quad)
    A. 等于 2
    B. 大于 2
    C. 小于2
    D. 不确定

  1. 下列说法错误的是( )
    A. 两类错误之和可以大于 1
    B. 假设检验与置信区间没有联系
    C. 增大样本量可以同时提高置信度和精度
    D. 独立一定不相关

  1. 已知 XX 与 YY 均服从伯努利分布, b(1,p)b(1, p), 且 Cov⁡(X,Y)=0\operatorname{Cov}(X,Y)=0, 则 ( )
    A. XX 与 YY 独立
    B. XX 与 YY 不独立
    C. X,YX, Y 的方差等于 00
    D. XX 与 YY 相关

  1. 关于置信区间, 不正确的是( )
    A. 置信区间端点一点是统计量
    B. 置信区间中点一定是无偏估计量
    C. 置信区间可由反转假设检验接受域得到
    D. 置信区间常由枢轴量法构造

  1. 设 X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2), 则当 σ\sigma 增大时, 概率 P(∣X−μ∣<σ)P(|X-\mu|<\sigma) 逐渐( )
    A. 增大
    B. 减小
    C. 不变
    D. 无法确定

二、计算分析题（共126分）

  1. (16分) 一个不透明的箱子里有 aa 个白球和 bb 个红球, kk 个人不放回地抽球, 且 k<a+bk<a+b, 求第 ii 个人抽到红球的概率.

  1. (16分) 两个人打乒乓球, 甲每局获胜概率为 p>0.5p>0.5, 问:
    (1)(8分) 五局三胜和三局两胜哪个对甲有利?
    (2)(8分) 选择五局三胜, 甲获胜的实际局数的概率分布.

  1. (16分) 设 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n 是i.i.d.的 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2), 定义

T=12n(n−1)∑i=1n∑j=1n(Xi−Xj)2,T=\frac{1}{2n\left( n-1 \right)}\sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^n{\left( X_i-X_j \right) ^2}},

问 TT 是否可作为离散程度的衡量标准.


  1. (16分) 设某电子产品的寿命服从如下分布:

F(x;α,β)={1−e−x−αβ,x≥α0,x<αF(x ; \alpha, \beta)= \begin{cases}1-e^{-\frac{x-\alpha}{\beta}}, & x \geq \alpha \\ 0, & x<\alpha\end{cases}

现测得 nn 个该电子产品的寿命为 X1,X2,⋯ ,XnX_1, X_2, \cdots, X_n, 试求末知参数 α,β\alpha, \beta 的矩估计和极大似然估计.


  1. (16分) 设 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n 是i.i.d.的 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2), 其中 μ\mu 已知, σ2\sigma^2 未知.

(1)(8分) 试用两种方法给出 σ2\sigma^2 的置信区间.

(2)(8分) 给出 σ4\sigma^4 的置信区间.


  1. (16分) 从 N(μ,1)N(\mu,1) 总体抽取 100 个随机样本 x1,⋯ ,x100x_1,\cdots,x_{100}, 为讨论假设检验问题

H0:μ=0vsH1:μ≠0H_0:\mu = 0 \quad \mathrm{vs} \quad H_1:\mu \neq 0

构造拒绝域 W={∣xˉ∣<0.001}W=\{|\bar{x}|<0.001\}.

(1)(8分) 已知 Φ(0.01)<0.505\Phi(0.01)<0.505, 证明犯第一类错误概率 α<0.01\alpha <0.01;
(2)(8分) WW 是一个合适的拒绝域吗? 为什么?


  1. (15分) 已知 Y1,⋯ ,YnY_1,\cdots,Y_n 是独立随机变量, 其中 Yi∼N(a+bXi,σ2)Y_i\sim N(a+bX_i,\sigma^2), 其中 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n 是给定常数, 满足 ∑Xi=0\sum X_i=0, ∑Xi2>0\sum X_i^2 >0, 试给出

T1=Yˉ,T2=∑i=1nXiYi∑i=1nXi2T_1 = \bar{Y}, \quad T_2 = \frac{\sum_{i=1}^nX_iY_i}{\sum_{i=1}^n X_i^2}

的分布.


  1. (15分) 检验某产品的次品率 pp, 假设检验问题为:

H0:p=0.1vsH1:p=0.3H_0: p=0.1 \quad \mathrm{vs}\quad H_1:p=0.3

检验方法为: 先抽 2 个产品, 都是次品则拒绝原假设, 否则再抽 1 个, 如果第3个是次品, 也拒绝原假设(有放回). 求犯第二类错误的概率.