中国科学技术大学-432统计学-2021年

一、(15分) 甲、乙两人掷骰子, 甲先掷, 如果扔到1则把骰子给乙, 否则自己继续, 同样乙也扔到1就给甲, 问第$n$次是甲投掷的概率.

二、(15分) 已知$X\sim U(0,1),Y\sim U(\beta,1),Z_1\sim U(0,\beta),Z_2\sim U(0,\beta)$且它们相互独立, 记$V_i=I_{\{X\le \beta\}}Z_i+I_{\{X>\beta\}}Y$, $i=1,2$.

(1) 证明$V_i\sim U(0,1),i=1,2$;

(2) 求Corr$(V_1,V_2)$.

三、(15分) 有线性模型$Y_i=\beta_0 + \beta_1 X_i +\varepsilon_i$, 其中$\varepsilon_i$独立同服从$N(0,\sigma^2)$, 考虑$\beta_0,\beta_1,\sigma^2$的最小二乘估计, 回答下述问题:

(1) 所有自变量$X_i$都增加2, 最小二乘估计将会怎么变化?

(2) 所有自变量$X_i$都乘2, 最小二乘估计将会怎么变化?

四、(15分) 已知$X,Y\sim N(0,\sigma^2)$且相互独立, 令$\theta=\arcsin \frac{X}{\sqrt{X^2+Y^2}}$, 试

(1) 求$\theta$的概率密度函数;

(2) 判断$\theta$与$X^2+Y^2$是否独立.

五、(15分) 某电子元件的寿命服从期望为$\lambda$的指数分布, 从这批原件中抽取$n$件作寿命试验, 规定到第$r(0<r\le n)$个电子元件失效时就停止试验, 这样获取了前$r$个次序统计量$X_{(1)},\cdots,X_{(r)}$, 求

(1) $\lambda$的最大似然估计$\hat{\lambda}$;

(2) 若$r=2$, 判断$\hat{\lambda}$是否为$\lambda$的无偏估计.

六、(15分) 甲化肥是某化肥厂研制的畅销款, 现该化肥厂研制出改进品种乙化肥, 为探究乙化肥 的效果是否好于甲化肥,你的小组被委任展开对比实验, 第一组选取 13 块稻 田, 施用甲化肥,其亩产平均值为 $12.3,$ 样本方差为 $10 ; $ 第二组选取 11 块稻田, 施用乙化肥, 其 亩产平均为 $14.4,$ 样本方差为 $7.8 .$ 假设亩产服从正态分布. 在显著性水平选择 $\alpha=0.1$的情况下, 问:

(1) 是否能够认为两组的方差相等?

(2) 是否能够认为乙化肥的均值高于甲化肥?

七、(20分) 二维随机变量 $(X,Y)$ 的密度函数为 $f(x, y)=A e^{-(3x+4 y)} x>0, y>0$.

(1) 求系数 $A$;

(2) 问$X$ 与 $Y$ 是否独立?

(3) 试求$ Z=X+Y $的密度函数;

(4) 试求 $E(X|X+Y=1)$.

八、(20分) 甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品, 产品质量分别为三个等级(1,2,3分别代表高, 中, 低). 今从三个厂中共抽 300 件产品, 逐件检测, 得结果如下:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text { 级数 } & \text { 甲工厂 } & \text { 乙工厂 } & \text { 丙工厂 } & \text { 总和 } \\ \hline 1 \text { 级 } & 36 & 38 & 30 & 104 \\ \hline 2 \text { 级 } & 40 & 33 & 35 & 108 \\ \hline 3 \text { 级 } & 18 & 26 & 44 & 88 \\ \hline \text { 总和 } & 94 & 97 & 109 & 300 \\ \hline \end{array}$$

(1) 三个厂的产品质量是否一致?

(2) 若不一致, 问哪个厂的质量更优, 哪个厂更劣?

九、(20分) 有来自总体$N(0,\sigma^2)$的随机样本$X_1,\cdots,X_n$, 其次序统计量是$X_{(1)},\cdots,X_{(n)}$是其次序统计量, $R_i$是$X_i$的秩, 即$R_i=j$当且仅当$X_i=X_{(j)}$. 回答下述问题.

(1) 求$E(R_i)$;

(2) 求$Cov(R_i,R_j)$;

(3) 判断$(X_{(1)},\cdots,X_{(n)})$与$(R_1,\cdots,R_n)$是否独立.