中国科学技术大学-812概率论与数理统计-2021年

一、(20分) 若河边仅有一个码头，甲乙两船在 0：00~24：00 之间，等可能的在任意时刻到达码头，且到达时刻独立。若甲到达码头需停靠 2h，乙需停靠 1h。问：
(1)(10分) 甲乙停靠时间间隔大于 2h 的概率.
(2)(10分) 一艘船到达后需要等待一段时间的概率.


二、(20分) 随机向量 (X,Y)(X,Y) 有联合密度 f(x,y)=C(1+xy)I{∣x∣<1,∣y∣<1}f(x,y) = C(1+xy)I_{\{|x|<1,|y|<1\}}.
(1)(5分) 求 CC;
(2)(5分) 求 X=xX=x 时, YY 的条件分布;
(3)(10分) 证明 X2X^2 与 Y2Y^2 独立.


三、(20分) 盒中有大小形状相同的 nn 个白球，mm 个黑球，依次从中取出 kk 个球，k<n+mk<n+ m, 记 XX 为取出球中白球的个数， IjI_j 为第 jj 次取出的球为白球的示性随机变量， j≤kj \le k.
(1)(5分) 求 IjI_j 的分布;
(2)(5分) 求 (Ii,Ij)(I_i,I_j) 的分布, i<j≤ki<j\le k;
(3)(10分) 求 E(X)E(X), Var(X)Var(X).


四、(15分) 证明: 随机变量序列 {Xn}\{X_n\} 依概率收敛于 00 的充分必要条件是

E[∣Xn∣1+∣Xn∣]→0.E\left[ \frac{|X_n|}{1+|X_n|}\right] \rightarrow 0.


五、(20分) 设 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n 来自离散分布 P(X=0)=2(1−θ)2−θ,P(X=1)=θ2−θP(X=0)= \frac{2(1-\theta)}{2-\theta},P(X=1)=\frac{\theta}{2-\theta} 的随机样本, 其中 θ∈(0,1)\theta\in(0,1), 求:

(1)(5分) θ\theta 的矩估计 θ^1\hat{\theta}_1;
(2)(5分) θ\theta 的最大似然估计 θ^2\hat{\theta}_2;
(3)(10分) θ^1\hat{\theta}_1 和 θ^2\hat{\theta}_2 的渐近分布.


六、(20分) 为调查某商品在商场货架上的滞留时间，随机调查9个样本的滞留时间 X1,⋯ ,X9X_1,\cdots,X_9, 其中计算得到 xˉ=131\bar{x}=131, 假设总体 X∼N(μ,9)X\sim N(\mu,9). u0.95=1.645u_{0.95}=1.645.
(1)(5分) 检验 H0:μ≤130H_0:\mu \le 130, 备择假设是其对立, α=0.05\alpha = 0.05.
(2)(5分) 若 μ=131\mu = 131, 样本量改为 nn, 求犯第二类错误的概率 β\beta, 并指出: 想要 β≤0.05\beta\le 0.05, 我们应该需要多少样本.
(3)(10分) 求 θ=P(X≤130)\theta = P(X\le 130) 的 MLE, 并给出 95% 置信下限.


七、(20分) 人的早晚收缩压 (X,Y)∼N(μx,μy,σx2,σy2,ρ)(X,Y)\sim N(\mu_x,\mu_y,\sigma_x^2,\sigma_y^2,\rho), 随机抽取 nn 人, 其中 n−mn-m 人有早晚数据 (X1,Y1),⋯ ,(Xn−m,Yn−m)(X_1,Y_1),\cdots,(X_{n-m},Y_{n-m}), 剩下 mm 人只有早上数据 Xn−m+1,⋯ ,XnX_{n-m+1},\cdots,X_n, 令 β=ρσyσx\beta = \rho \frac{\sigma_y}{\sigma_x}. 只有 μx\mu_x, μy\mu_y 是待估参数.
(1)(10分) 求 μy\mu_y 的 MLE μ^y\hat{\mu}_y;
(2)(10分) 证明 μ^y\hat{\mu}_y 是无偏估计, 并求条件方差 Var(μ^y∣X1,⋯ ,Xn)Var(\hat{\mu}_y|X_1,\cdots,X_n).


八、(15 分) 设有线性模型

Y=Xβ+ε,ε∼N(0,σ2In),Y=X \beta+\varepsilon, \quad \varepsilon \sim N\left(0, \sigma^2 I_n\right),

其中

Y=(y1y2⋮yn),X=(x1Tx2T⋮xnT)=(x11x12⋯x1px21x22⋯x2p⋮⋮⋮xn1xn2⋯xnp),Y=\left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{array}\right), \quad X=\left(\begin{array}{c} x_1^T \\ x_2^T \\ \vdots \\ x_n^T \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1 p} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2 p} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{n 1} & x_{n 2} & \cdots & x_{n p} \end{array}\right),

对于 λ>0\lambda>0, 定义

β^=arg⁡min⁡β{∥Y−Xβ∥2+λ∥β∥2}.\hat{\beta}=\underset{\beta}{\arg \min }\left\{\|Y-X \beta\|^2+\lambda\|\beta\|^2\right\} .

(1)(7 分) 试求残差平方和 SSE(λ)=∥Y−Xβ^∥2S S E(\lambda)=\|Y-X \hat{\beta}\|^2 的期望.
(2)(8 分) 记 Sλ=X(XTX+λIp)−1XTS_\lambda=X\left(X^T X+\lambda I_p\right)^{-1} X^T, 证明:

∑i=1n(yi−xiTβ^−i)2=∑i=1n(yi−xiTβ^1−Sλ(i,i))2,\sum_{i=1}^n\left(y_i-x_i^T \hat{\beta}_{-i}\right)^2=\sum_{i=1}^n\left(\frac{y_i-x_i^T \hat{\beta}}{1-S_\lambda(i, i)}\right)^2,

其中 β^−i\hat{\beta}_{-i} 是去除掉数据 (xi,yi)\left(x_i, y_i\right) 后的估计量, 而 Sλ(i,i)S_\lambda(i, i) 是矩阵 SλS_\lambda 的 (i,i)(i, i) 元.