南开大学-432统计学-2021年

一、选择题 (每题 4 分, 共 28 分)

1. 一条线段随机分成三段, 能组成三角形的概率是( ).

A. 1/2;

B. 1/4

C. 1/3;

D. 1/6.

2. 如随机变量$X$与 $Y$ 满足: $Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$, 则( ).

A. $X,Y$独立;

B. $X,Y$不相关;

C. $X,Y$互斥;

D. $Var(XY)=Var(X)Var(Y)$.

3. 设$X_{1}, X_{2} \cdots X_{n}$为来自正态总体$N\left(0, \sigma^{2}\right)$的简单随机样本, 令$T=c \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_{i}\right)^{2}$, 为使$T$成为$\sigma^{2}$ 的无偏估计, 则 $c=$( ).

A. $\frac{1}{n-1}$;

B. $\frac{1}{2(n-1)}$;

C. $\frac{1}{n}$;

D. $\frac{1}{2n}$.

4. 设随机变量 $X$ 服从 $N(0,1)$, 随机变量 $Y$ 服从自由度为 3 的 $t$ 分布, 则对于一个常数 $c(c>2)$, 下述正确的是( ).

A. $P(|X| \geq c)>P(|Y| \geq c)$;

B. $P(|X| \geq c)<P(|Y| \geq c)$;

C. $P(|X| \geq c)=P(|Y| \geq c)$;

D. 无法确定.

5. 设$X_{1}, X_{2} \cdots X_{n}$为来自正态总体$N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$的简单随机样本, $\mu,\sigma^2$是未知参数, 则$\mu$的置信区间长度( ).

A. 只和$\bar{x}$有关;

B. 只和$s^2$有关;

C. 和$\bar{x},s^2$有关;

D. 和$\sigma$有关.

6. 设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 其中 $\mu$ 未知, $\sigma^{2}$ 已知,$\left(X_{1}, X_{2}, X_{3}\right)$ 为来自总体 $X$ 的样本, 则以下哪一项不是统计量.( )

A. $X_1+2X_2$;

B. $\max \{X_1,X_2,X_3\}$;

C. $\sum_{i=1}^n\frac{X_i^2}{\sigma^2}$;

D. $\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)$.

7. 设$X_1 ,X_2 ,\cdots,X_n$ 为来自正态总体$N(\mu,1)$ 的简单随机样本, 则关于假设

$H_0: \mu \ge 1 \quad \mathrm{vs} \quad H_1: \mu < 1$

的显著性检验是( ).

A. 单侧$u$检验;

B. 单侧$t$检验;

C. 双侧$u$检验;

D. 双侧$t$检验.

二、填空题(每题4分, 共32分)

1. 已知$X\sim N(\mu,\sigma^2)$, 则$\sigma$的费雪信息量是________.

2. 有来自总体$X\sim N(\mu,\sigma^2)$的样本$X_1,\cdots,X_n,X_{n+1}$, 令$\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$, $S^2_n=\frac{1}{n-1}(X_i-\bar{X}_n)^2$, 则$\sqrt{\frac{n}{n+1}}\frac{X_{n+1}-\bar{X}_n}{S_n}$服从的分布是________.

3. 伽马分布$f(x)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha -1 }e^{-\beta x}$的特征函数是________.

4. 某圆盘的半径在区间$(a,b)$上服从均匀分布, 则该圆盘的平均面积为________.

5. 现有$n$名男生与$m$名女生$(m\le n)$随机地站成一排, 则任意两名女生都不相邻的概率是________.

6. 已知$X\sim N(0,1)$, 则$Y=|X|$的密度函数是________.

7. 有来自总体$X \sim Beta(\theta,1)$的$n$个随机样本$X_1,\cdots,X_n$, 则$\frac{1}{\theta}$的MLE是________.

8. 设随机样本$X_1,\cdots,X_n$独立同分布, 又已知$EX_1=0$, $Var(X_1)=\sigma^2$, 则$Cov(X_1,\bar{X})=$________.

三、解答题(90分)

1.(10分)设盒中有$b$个黑球, $r$个白球. 每次随机取出一个观察颜色后放回, 并加入$c$个同色球, 如此一直重复, 求第$N$次取得黑球的概率.

2.(15分)有随机变量序列$\{ X_n\}$, 记$Y_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i, a_n = EY_n$, 证明: $\{ X_n\}$服从大数定律的充要条件是

$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}E\left[ \frac{\left( Y_n-a_n \right) ^2}{1+\left( Y_n-a_n \right) ^2} \right] =0.$

3.(10分)有来总体$F(x)$的$n$个随机样本, $F_n(x)$为经验分布函数, 试证明: 对任意$x\in R$, $F_n(x)$均方收敛于$F(x)$, 进而有依概率、按分布收敛于$F(x)$.

4.(15分)有来自总体$N(\mu,1)$的$n$个随机样本, 考虑假设检验问题

$H_0: \mu =1 \quad \mathrm{vs} \quad H_1: \mu > 1,$

有拒绝域$W_1=\{\bar{x}: \bar{x} > 1+ \frac{z_{0.95}}{\sqrt{n}}\}$和$W_2=\{\bar{x}:1+ \frac{z_{0.95}}{\sqrt{n}} > \bar{x} > 1+ \frac{z_{0.9}}{\sqrt{n}}\}$, 分别求它们的

(1) 两类错误和功效函数.

(2) 你认为谁更优, 为什么?

5.(15分) 有来自总体$X\sim B(1,p)$的随机样本$X_1,\cdots,X_n$, $q=1-p$, 求

(1) $pq$的UMVUE;

(2) $(1-p)^2$的MLE, 问它是否无偏, 若不是请求出一个无偏估计.

6.(15分) 随机变量$\varphi \sim U(0,1)$, 随机变量$R$的密度函数是$f(r)=re^{-\frac{r^2}{2}},r>0$, 且$R$与$\varphi$独立, 对于数列$\{a_n\}$, 试证明: $\{X_n=R \cos (2\pi (a_n+\varphi) )\}$是正态序列.

7.(10分) 有来自总体$N(\mu,\sigma^2)$的随机样本$X_1,\cdots,X_n$, 考虑假设检验问题

$H_0: \sigma^2 =\sigma^2_0 \quad \mathrm{vs} \quad H_1:\sigma^2 \neq \sigma_0^2,$

给定显著性水平$\alpha$, 证明该问题的似然比检验可由统计量$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$给出.