清华大学-432统计学-2021年

一、(20分) 已知$(U,V)$满足: $P(U=1)=P(U=-1)=1/2$, 且

$\begin{cases} P\left( V=-1|U=1 \right) =\frac{2}{3},\\ P\left( V=1|U=1 \right) =\frac{1}{3},\\ P\left( V=-1|U=-1 \right) =\frac{1}{3},\\ P\left( V=1|U=-1 \right) =\frac{2}{3},\\ \end{cases}$

(1)(10分) 求方程$x^2+Ux+V=0$有实根的概率;

(2)(10分) 求方程$x^2+Ux+V=0$最大实根的数学期望.

二、(60分) 有来自总体$\mathrm{Exp}(\frac{1}{\lambda})$的$n$个随机样本$X_1,\cdots,X_n$, 注意: $\mathrm{Exp}(\frac{1}{\lambda})$ 指的是期望为 $\lambda$ 的指数分布.

(1)(10分) 试证:$X_1+X_2$与$\frac{X_1}{X_2}$独立;

(2)(20分) 求$X_{(1)}$与$X_{(n)}$的相关系数$R$, 并计算$\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}nR$;

(3)(10分) 分别基于$X_{(1)}$和$\bar{X}$构造$\lambda$的无偏估计;

(4)(20分) 说明这两个无偏估计是否是弱相合估计.

三、(30分)设有来自总体$B(1,\theta)$的$2n$个独立样本$X_1,\cdots,X_{2n}$, 其中$\theta \in[\frac{1}{2},1)$.

(1)(20分) 求$\theta$的最大似然估计$\hat{\theta}$与其分布;

(2)(10分) 利用似然比检验法给出假设检验问题
$\mathrm{H}_0:\theta =\frac{1}{2}\quad \mathrm{vs}\quad \mathrm{H}_1:\theta >\frac{1}{2}$
的拒绝域.

四、(20分) 随机向量$X$服从多元正态分布$N(0,I_n)$, $A$是$n$阶对称阵, 试证明: $X^TAX\sim \chi^2(r)$的充分必要条件是$A$为幂等矩阵且秩为$r$.

五、(20分) 有来自总体$X\sim g(x)$的$n$个随机样本$X_1,\cdots,X_n$, 已知$g(x)= \frac{xf(x)}{\mu}$, 其中$f(x)$是未知的概率密度函数, $\mu$是正则化常数, $x>0$, 且有

$1<\mu \int_0^{+\infty}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx}<+\infty ,$

试构造$\mu$的相合估计$\hat{\mu}_n$并求其渐近分布.