北京大学数院-431金融学综合-2021年

一、(10分) 某袋中有4红球、2白球, 从中取2次球, 请求:

(1)(5分) 有放回取球, 第二次取到红球的概率;

(2)(5分) 无放回取球, 第二次取到红球的概率.

二、(10分) 随机变量$X$只取三个值0,1,2,取到它们的概率分别是0.4,0.3,0.3; 随机变量$Y\sim B(3,\frac{1}{3})$, 它们相互独立, 令$S=X+Y$, 求

(1)(5分) $\mathrm{P}(S=4)$与$\mathrm{P}(X=2|S=4)$;

(2)(5分) $\mathrm{E}S$与$\mathrm{Var}(S)$.

三、(10分) 随机变量$X,Y$独立同服从标准正态分布, 令$Z=\min \{X,Y\},W=\max \{X,Y\}$, 试求

(1)(5分) $Z$与$W$的概率密度;

(2)(5分) $\mathrm{Cov}(Z,W)$.

四、(10分) 随机向量$(X,Y)$的联合概率密度是$f(x,y)=c(x^2+\frac{1}{2}xy)$,其中$x\in(0,1),y\in(0,2)$,

(1)(3分) 求$c$;

(2)(3分) 问$X,Y$是否独立;

(3)(4分) 求$\mathrm{P}(X+Y\le 1)$.

五、(10分) 随机变量$X$的分布函数是$F(x)=1-\frac{1}{x^3},x\ge 1$, 令$Y=\sqrt{X}$.

(1)(5分) 求$\mathrm{E}Y$与$\mathrm{Var}(Y)$;

(2)(5分) 有来自总体$Y$的$n$个随机样本$Y_1,\cdots,Y_n$, 求$a_n$和$b_n$使得

$\frac{\sum_{i=1}^n{Y_i}-a_n}{b_n}\xrightarrow{d}N\left( 0,1 \right) .$

六、(10分) 有来自总体$X\sim f\left( x \right) =\frac{1}{2\sigma}e^{-\frac{\left| x \right|}{\sigma}}$的$n$个随机样本$X_1,\cdots,X_n$, 令

$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n{\left( X_i-\bar{X} \right) ^2}$

求证:$\mathrm{E}S^2=2\sigma^2$.

七、(10分) $X_1,\cdots,X_n$是来自总体$N(\mu,\sigma^2)$的随机样本, $\mu,\sigma^2$是未知参数,

(1)(5分) 求$\mu$的置信度为$1-\alpha$的置信区间;

(2)(5分) 设上述置信区间长度为$L$, 求$\mathrm{E}L^2$.

八、(10分) $X_1,\cdots,X_n$是来自总体$N(\mu,\sigma^2)$的随机样本, 求$k$使得统计量

$T=k\sum_{i=1}^n{\left| X_i-\bar{X} \right|}$

构成$\sigma$的无偏估计.

九、(10分)现有甲、乙两种工艺, 挑选30名工人测试他们完成两种工艺所花费的时间, 分别记作$X_i,Y_i$. 若欲探究两种工艺所需工时的差异, 请叙述应使用的模型与检验法.

十、(10分) 已知$y_{ij}=\mu+a_i+\varepsilon_{ij}$, 其中$i=1,\cdots,r,j=1,\cdots,s$, $\sum_{i=1}^{n}a_i=0$, 残差$\varepsilon_{ij}$独立同服从$N(0,\sigma^2)$, 令

$\overline{y_{i\cdot}}=\frac{1}{s}\sum_{j=1}^s{y_{ij}},i=1,\cdots ,r,\bar{y}=\frac{1}{r}\sum_{i=1}^r{\overline{y_{i\cdot}}},$

(1)试证明:

$\sum_{i=1}^r{\sum_{j=1}^s{\left( y_{ij}-\bar{y} \right) ^2}}=\sum_{i=1}^r{\sum_{j=1}^s{\left( y_{ij}-\overline{y_{i\cdot}} \right) ^2}}+r\sum_{i=1}^r{\left( \overline{y_{i\cdot}}-\bar{y} \right) ^2};$

(2)证明: $\sum_{i=1}^r{\sum_{j=1}^s{\left( y_{ij}-\overline{y_{i\cdot}} \right) ^2}}$与$\sum_{i=1}^r{\left( \overline{y_{i\cdot}}-\bar{y} \right) ^2}$相互独立.