复旦大学-432统计学-2021年

一、(15分) 某平面上有无数条距离为2的等距平行线, 先投掷一边长为1的正三角形, 求三角形交于平行线的概率.

二、(15分) 甲乙两人抛硬币, 若正面朝上则甲赢1元, 反面朝上乙赢1元. 共进行20轮, 最终两人皆不输不赢. 已知甲初始没有钱, 问在整个过程中甲不欠钱的概率.

三、(15分) $X_0,\cdots,X_n,\cdots$是i.i.d.的服从$U(0,1)$的随机变量, 记

$N=\inf \{ n\ge1:X_n>X_0 \},$

求$N$的分布律.

四、(15分) $X_1,\cdots,X_n$是i.i.d.的随机变量, $\mathrm{P}(X=1)=0.4,\mathrm{P}(X=-0.5)=0.6$. 令$S_n=(1+X_1)(1+X_2)\cdots(1+X_n)$, 问$\mathrm{E}(S_n)$与$S_n$是否收敛? 若收敛, 求其极限.

五、(15分) 投掷一枚硬币, 连续出现三次同面则停止, 记投掷次数为$N$, 求$\mathrm{E}N$.

六、(15分) $X_1,X_2$独立同服从$N(0,1)$, 求$\frac{X_1}{X_2}$与$\frac{X_{1}^2}{X_{2}^2}$的分布.

七、(10分) 简答题:
(1)(5分) 叙述充分统计量的定义.
(2)(5分) 叙述C-R不等式.

八、(10分) 有来自总体$f(x)=2x,0<x<1$的10个随机样本$X_1,\cdots,X_{10}$, 问$\frac{X_{(3)}}{X_{(6)}}$与$X_{(6)}$是否独立, 请说明理由.

九、(10分) 有来自总体$N(\mu,1)$的$n$个随机样本$X_1,\cdots,X_n$, 证明:$\bar{X}$是充分统计量.

十、(10分) 有来自总体$U(\theta,2\theta)$的$n$个随机样本$X_1,\cdots,X_n$, 求$\theta$的最大似然估计, 并判断其无偏性与相合性.

十一、(10分) 有来自总体$N(\mu,\sigma^2)$的$n$个随机样本$X_1,\cdots,X_n$, 其中$\mu$已知, 令

$\hat{\sigma}=\frac{1}{n}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sum_{i=1}^n{\left| X_i-\mu \right|},$

验证$\hat{\sigma}$是$\sigma$的无偏估计, 但不是有效估计.

十二、(10分) 有来自总体$\mathcal P(\theta)$的$n$个随机样本, 考虑假设检验问题:

$\mathrm{H}_0:\theta=2 \quad \mathrm{vs} \quad \mathrm{H}_1:\theta=3,$

有拒绝域$W=\{ \bar{x} \ge 2.8\}$, 问
(1)(5分) $n=5$时, 犯两类错误的概率分别是多少?
(2)(5分) $n$趋于无穷时, 犯两类错误的概率会有什么变化? 请说明.